第 9 章《中心对称图形—平行四边形》 常考综合题专练（一） 1．如图，过△ABC 边 AC 的中点 O，作 OE⊥AC，交 AB 于点 E，过点 A 作 AD∥BC，与 BO 的延长线交于点 D，连接 CD，CE，若 CE 平分∠ACB，CE⊥BO 于点 F． （1）求证： ①OC＝BC； ② 四边形 ABCD 是矩形； （2）若 BC＝3，求 DE 的长． 2．如图，矩形 ABCD 中，EF 垂直平分对角线 BD，垂足为 O，点 E 和 F 分别在边 AD，BC 上，连接 BE，DF． （1）求证：四边形 BFDE 是菱形； （2）若 AE＝OF，求∠BDC 的度数． 3．如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点 E 是 AC 中点，点 F 是 BD 中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）过点 D 作 DH⊥AC 于 H 点，如果 BD 平分∠HDE，求证：BA＝BC． 4．如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD＝2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满 足 AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由． 5．在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF∥BC 交 BE 的延长线于点 F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形 ADCF 是菱形． 6．正方形 ABCD 的边长为 6，E，F 分别是 AB，BC 边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝CF+AE； （2）当 AE＝2 时，求 EF 的长． 7．如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝6，点 O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直线分别 交 AB、CD 边于点 E、F． （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形； （2）当 DE＝DF 时，求四边形 DEBF 的面积 S 四边形 DEBF． 8．如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，CD 的中点，连接 BE，AF 交于点 M，分 别延长 AF，BC 交于点 N． （1）求∠BMN 的度数； （2）求证：CM＝AD． 9．如图，在矩形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 的中点，点 E 是 CD 上一点，连接 EO 并延 长交 AB 于点 F，连接 AE、CF． （1）求证：△COE≌△AOF； （2）当∠DEA＝2∠CAB 时，试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由． 10．已知：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在 CD 边上，点 F 在 AD 边上，且 AF＝ DE． （1）求证：AE⊥BF； （2）如图 2，对角线 AC 与 BD 交于点 O，BD、AC 分别与 AE、BF 交于点 G、H，求证： OG＝OH； （3）在（2）的条件下，连接 OP，若 AP＝4，OP＝ ，求 AB 的长． 参考答案 1．（1）证明：①∵CE 平分∠ACB， ∴∠OCE＝∠BCE， ∵BO⊥CE， ∴∠CFO＝∠CFB＝90°， 在△OCF 与△BCF 中， ， ∴△OCF≌△BCF（ASA）， ∴OC＝BC； ②∵点 O 是 AC 的中点， ∴OA＝OC， ∵AD∥BC， ∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO， 在△OAD 与△OCB 中， ， ∴△OAD≌△OCB（ASA）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵OE⊥AC， ∴∠EOC＝90°， 在△OCE 与△BCE 中， ， ∴△OCE≌△BCE（SAS）， ∴∠EBC＝∠EOC＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形； （2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∵OC＝BC， ∴OC＝OB＝BC， ∴△OBC 是等边三角形， ∴∠OCB＝60°， ∴∠ECB＝ OCB＝30°， ∵∠EBC＝90°， ∴EB＝ EC， ∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3， ∴EB＝ ，EC＝2 ， ∵OE⊥AC，OA＝OC， ∴EC＝EA＝2 ， 在 Rt△ADE 中，∠DAB＝90°， ∴DE＝ ＝ ＝ 2．（1）证明：∵EF 垂直平分对角线 BD， ∴∠DOE＝∠BOF＝90°，OB＝OD， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEO＝∠BFO， 在△DEO 和△BFO 中， ， ∴△DEO≌△BFO（AAS）， ∴DE＝BF， ∵EF 垂直平分对角线 BD， ∴DE＝BE，BF＝DF， ∴DE＝BE＝BF＝DF， ∴四边形 BFDE 是菱形； （2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°， ∵∠BOF＝90°， ∴∠A＝∠BOF＝90°， 在 Rt△BAE 和 Rt△BOF 中， ， ． ∴Rt△BAE≌Rt△BOF（HL）， ∴AB＝OB， ∵AB＝CD，OB＝OD， ∴CD＝ BD， ∵∠C＝90°， ∴∠CBD＝30°， ∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°． 3．（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点 E 是 AC 中点， ∴DE＝ AC，BE＝ AC， ∴DE＝BE， ∵点 F 是 BD 中点， ∴EF⊥BD； （2）证明：设 AC，BD 交于点 O， ∵DH⊥AC，EF⊥BD ∴∠DHO＝∠EFO＝90°， ∵∠DOH＝∠BOE， ∴∠HDF＝∠OEF， ∵DE＝BE， ∴∠EDO＝∠EBO， ∵BD 平分∠HDE， ∴∠HDF＝∠BDE， ∴∠OEF＝∠OBE， ∵∠OEF+∠EOF＝90°， ∴∠EOF+∠EBO＝90°， ∴∠BEO＝90°， ∴BE⊥AC， ∴BA＝BC． ， 4．（1）证明：∵菱形 ABCD 的边长为 2，BD＝2， ∴BC＝BD＝CD＝AD＝2， ∴∠C＝∠CDB＝60°， ∵∠BDE＝∠BDC， ∴∠BDE＝∠C， ∵AE+DE＝AD＝2，AE+CF＝2， ∴DE＝CF， 在△BDE 和△BCF 中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）； （2）解：等边三角形． 理由：∵△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠CBF＝∠DBE， ∵∠CBF+∠DBF＝60°， ∴∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°， ∴△BEF 是等边三角形． 5．证明：（1）∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E 是 AD 的中点，AD 是 BC 边上的中线， ∴AE＝DE，BD＝CD， 在△AFE 和△DBE 中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则 AF＝DB． ∵DB＝DC， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点， ∴AD＝DC＝ BC， ∴四边形 ADCF 是菱形． 6．（1）证明：∵△DAE 逆时针旋转 90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM， ∴F、C、M 三点共线， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF 和△DMF 中， ∵ ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF， ∴EF＝CF+AE； （2）解：设 EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，且 BC＝6， ∴BM＝BC+CM＝6+2＝8， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x， ∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4， 在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2+BF2＝EF2， 即 42+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝5， 则 EF＝5． 7．（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴DC∥AB， ∴∠FDO＝∠EBO， ∵O 是 BD 的中点， ∴DO＝BO， 在△DFO 和△BEO 中， ， ∴△DFO≌△BEO（ASA）， ∴DF＝BE， ∵DC∥AB（即 DF∥BE）， ∴四边形 DEBF 是平行四边形； （2）解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝8，AD＝6， ∴BD＝ ＝ ＝10， ∵四边形 DEBF 是平行四边形，DE＝DF， ∴四边形 DEBF 是菱形， ∴DE＝BE， 设 DE＝BE＝x， 在 Rt△DAE 中，AD2+AE2＝DE2， 即 62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝ 即 BE＝ ， ， ∴四边形 DEBF 的面积 S 四边形 DEBF＝BE×AD＝ ×6＝ ． 8．解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠D＝90°， ∵E、F 分别是 AD、CD 的中点， ∴AE＝ AD，DF＝ CD， ∴AE＝DF， 在△ABE 和△DAF 中， ， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴AF＝BE，∠AEB＝∠AFD， 在直角△ADF 中，∠DAF+∠AFD＝90°， ∴∠DAF+∠AEB＝90°， ∴∠AME＝90°， ∴AF⊥BE， ∴∠BMN＝90°； （2）证明：∵DF＝CF，∠D＝∠FCN＝90°，∠AFD＝∠NFC， 在△ADF 和△NCF 中， ， ∴△ADF≌△NCF（ASA）， ∴AD＝CN＝CD＝BC， 在直角△BMN 中，BC＝CN， ∴CM＝ BN＝BC＝AD． 9．解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴CD∥AB， ∴∠OCE＝∠OAF， ∵点 O 为对角线 AC 的中点， ∴CO＝AO， 在△COE 和△AOF 中， ， ∴△COE≌△AOF（ASA）； （2）四边形 AECF 为菱形，理由： ∵△COE≌△AOF， ∴CE＝AF， 又∵CE∥AF， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∵CD∥AB， ∴∠DEA＝∠BAE， 又∵∠DEA＝2∠CAB， ∴∠BAE＝2∠CAB， 即∠BAC＝∠EAC， ∵CD∥AB， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴∠CAE＝∠ACE， ∴AE＝CE， ∴四边形 AECF 是菱形． 10．（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°， 在△ABF 和△DAE 中， ， ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴∠DAE＝∠ABF， ∵∠DAE+∠PAB＝∠BAD＝90°， ∴∠PAB+∠ABF＝90°， ∴∠APB＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥BF； （2）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠AOB＝∠AOG＝90°，O