四边形 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1.下列命题中错误的是(　　) A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直 C.同旁内角互补 D.矩形的对角线相等 2.一个十边形的内角和等于(　　) A.1 800° B.1 660° C.1 440° D.1 200° 3.如图,点 O 是▱ABCD 对角线的交点,EF 过点 O 分别交 AD,BC 于点 E,F,则下列结论成立 的是 (　　) A.OE = OF B.AE = BF C.∠DOC = ∠OCD D.∠CFE = ∠DEF 第 3 题　　 第4题 4.如图,D,E,F 分别是△ABC 各边中点,则以下说法错误的是 (　　) A.△BDE 和△DCF 的面积相等 B.四边形 AEDF 是平行四边形 C.若 AB = BC,则四边形 AEDF 是菱形 D.若∠A = 90°,则四边形 AEDF 是矩形 5.如图,在直角坐标系中,菱形 ABCD 的顶点 A,B,C 在坐标轴上,若点 B 的坐标为( 1,0),∠BCD = 120°,则点 D 的坐标为 A.(2,2) C.(3, ❑ √3 B.( ) ❑ √3 ,2) D.(2, ❑ √3 (　　) ) 第 5 题　　 第6题 6.如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上,若∠1 = 19°,则∠2 的度数为 (　　) A.41° B.51° C.42° D.49° 7.如图,点 O 为矩形 ABCD 的对称中心,点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动,移动到点 B 停止, 延长 EO 交 CD 于点 F,则四边形 AECF 形状的变化依次为 (　　) A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形 B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C.平行四边形→正方形→菱形→矩形 D.平行四边形→菱形→正方形→矩形 第 7 题　　 第8题 8.如图,在菱形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 BC,CD 的中点,连接 AE,AF,EF.若菱形 ABCD 的 面积为 8,则△AEF 的面积为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添 加一个条件　　　　,使矩形 ABCD 是正方形. 第 9 题　　 第 10 题 10.如图,在▱ABCD 中,对角线 BD = 8 cm,AE⊥BD,垂足为 E,且 AE = 3 cm,BC = 4 cm, 则 AD 与 BC 之间的距离为　　　　. 11.如图 1,直角三角形纸片的一条直角边长为 2,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图 2 放入一个边长为 3 的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图 2 中阴影部分的面积 为　　　　. 图 1　　 图 2 第 11 题　 第 12 题 12.如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,OE⊥AD,垂足为 E,AC = 8,BD = 6, 则 OE 的长为　　　　. 13.如图,点 E 是矩形 ABCD 边 AD 上一点,点 F,G,H 分别是 BE,BC,CE 的中点,AF = 3,则 GH 的长为　　　　. 第 13 题　　　 第 14 题 14.我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事非.”如图,在一个边长为 1 的正方形纸板上,依次贴上面积为 1 1 1 1 , , ,…, 的矩形彩色纸片(n 为大于 2 4 8 2n 1 的整数).请你用“数形结合”的思想,依数形变化的规律,计算: + 1 2n 1 2 + 1 4 + 1 8 +… = 　　　　. 三、解答题(共 50 分) 15.(12 分)在① AE = CF;②OE = OF;③BE∥DF 这三个条件中任选一个补充在下面横线上, 并完成证明过程. 已知:如图,四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 在 AC 上,　　　 (填写序号). 求证:BE = DF. 16.(12 分)如图,在矩形 ABCD 中,点 M 在 DC 上,AM = AB,且 BN⊥AM,垂足为 N. (1)求证:△ABN≌△MAD; (2)若 AD = 2,AN = 4,求四边形 BCMN 的面积. 17.(12 分)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AC = 4,BD = 8,点 E 在边 AD 上,AE = 1 3 AD,连接 BE 交 AC 于点 M. (1)求 AM 的长. (2)tan∠MBO 的值为　　　　. 18.(14 分)问题解决:如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,BC 边上,DE = AF,DE⊥AF 于点 G. (1)求证:四边形 ABCD 是正方形; (2)延长 CB 到点 H,使得 BH = AE,判断△AHF 的形状,并说明理由. 类比迁移:如图 2,在菱形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,BC 边上,DE 与 AF 相交于点 G,DE = AF,∠AED = 60°,AE = 6,BF = 2,求 DE 的长. 图 1　　 参考答案 1.C　2.C　3.A　4.C　5.D 图2 6.A　解析:如图, ∵六边形 ABCDEF 是正六边形, ( 6 - 2) × 180 ° 6 ∴∠B = = 120°. ∵∠1 = 19°, ∴∠3 = 180° - ∠1 - ∠B = 41°. ∵BC∥FE,∴∠4 = ∠3 = 41°. ∴∠2 = ∠4 = 41°. 故选 A. 7.B　8.B 9.AC⊥BD 或 BC = CD(答案不唯一) 10.6 cm 11.4 ❑ √5 　解析:由题意可得直角三角形的斜边长为 3,一条直角边长为 2, 故直角三角形的另一条直角边长为 故阴影部分的面积是 12. 2 × ❑√ 5 2 √ 32 - 22 ❑ ×4 = 4 = ❑ √5 12 5 　解析:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,AO = CO,DO = BO. ∵AC = 8,BD = 6, ∴AO = 4,DO = 3, ∴AD = √ A O2 + D O2 ❑ = √ 4 2+3 2 ❑ 又∵OE⊥AD, ∴ AO · DO 2 ∴ 4 ×3 2 = = AD · OE , 2 5 OE , 2 = 5. . ❑ √5 , 解得 OE = 12 5 . 13.3　14.1 - 1 n 2 15.解:若选②,即 OE = OF. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴BO = DO, 又∵OE = OF,∠BOE = ∠DOF, ∴△BOE≌△DOF(SAS), ∴BE = DF. 若选①,即 AE = CF. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴BO = DO,AO = CO, ∵AE = CF, ∴OE = OF, 又∠BOE = ∠DOF, ∴△BOE≌△DOF(SAS), ∴BE = DF. 若选③,即 BE∥DF. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴BO = DO, ∵BE∥DF, ∴∠BEO = ∠DFO, 又∠BOE = ∠DOF, ∴△BOE≌△DOF(AAS), ∴BE = DF. 16.(1)证明:在矩形 ABCD 中,∠D = 90°,DC∥AB, ∴∠BAN = ∠AMD, ∵BN⊥AM, ∴∠BNA = 90°, 在△ABN 和△MAD 中, { ∠ BAN =∠ AMD , ∠ BNA=∠ D=90 ° , AB=AM , ∴△ABN≌△MAD(AAS). (2)解:∵△ABN≌△MAD, ∴BN = AD, ∵AD = 2, ∴BN = 2, 又∵AN = 4, ∴在 Rt△ABN 中, AB = √ A N 2+ B N 2 ❑ ∴S 矩形 ABCD = 2×2 ❑ √5 1 2 S△ABN = S△MAD = = √ 4 2+22 ❑ =4 ❑ √5 =2 ❑ √5 , ×2×4 = 4, ∴S 四边形 BCMN = S 矩形 ABCD - S△ABN - S△MAD = 4 ❑ √5 17.解:(1)在菱形 ABCD 中, AD∥BC,AD = BC, ∴△AEM∽△CBM, ∴ AM CM AE BC , = ∵AE = 1 3 AD, ∴AE = 1 3 BC, ∴ AM CM ∴AM = = AE BC 1 3 CM = (2)∵AO = ∵BO = 1 2 1 2 , = 1 4 1 3 , AC = 1. AC = 2,AM = 1,∴OM = 1. BD = 4,AC⊥BD, - 8. ∴tan∠MBO = 故答案为 OM BO = 1 4 . 1 4 . 18.问题解决: (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ABC = ∠DAB = 90°, ∴∠BAF + ∠GAD = 90°. ∵DE⊥AF, ∴∠ADG + ∠GAD = 90°. ∴∠BAF = ∠ADG. 又∵AF = DE, ∴△ABF≌△DAE, ∴AB = AD. ∴矩形 ABCD 是正方形. (2)解:△AHF 是等腰三角形.理由如下: ∵AB = AD,∠ABH = ∠DAE = 90°,BH = AE, ∴△ABH≌△DAE, ∴AH = DE. 又∵DE = AF, ∴AH = AF,∴△AHF 是等腰三角形. 类比迁移: 解:如图,延长 CB 到点 H,使得 BH = AE = 6,连接 AH. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AD∥BC,AB = AD, ∴∠ABH = ∠BAD. 又∵BH = AE, ∴△ABH≌△DAE. ∴AH = DE,∠AHB = ∠DEA = 60°. 又∵DE = AF, ∴AH = AF, ∵∠AHB = 60°, ∴△AHF 是等边三角形, ∴AH = HF, ∴DE = AH = HF = HB + BF = 6 + 2 = 8.