专题 2.1 一次方程及方程组（知识讲解） 【基本考点要求】 1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程； 2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组； 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式: ax  b  0(a �0) . （3）解一元一次方程的一般步骤： ① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成 1；⑥检验(检验步骤可以 不写出来). 特别说明： 解一元一次方程的一般步骤 步 骤 1 名称 去分 母 方 法 在方程两边同时乘以所有分 母的最小公倍数（即把每个含 分母的部分和不含分母的部分 都乘以所有分母的最小公倍 数） 依 据 注意事项 1、不含分母的项也要乘以最小公 等式性质 2 倍数；2、分子是多项式的一定要 先用括号括起来. 去括 号 去括号法则（可先分配再去括 号） 乘法分配律 注意正确的去掉括号前带负数的 括号 3 移项 把未知项移到方程的一边 （左边），常数项移到另一边 （右边） 等式性质 1 移项一定要改变符号 4 合并 同类 项 分别将未知项的系数相加、 常数项相加 1、整式的加减； 2、有理数的加法 单独的一个未知数的系数为“±1” 系数 化为 “1” 在方程两边同时除以未知数 的系数（或方程两边同时乘以 未知数系数的倒数） 检根 x=a 方法：把 x=a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果. ①　若 左边＝右边，则 x=a 是方程的解； ②　若 左边≠右边，则 x=a 不是方程的解. 2 5 * 6 法则 等式性质 2 不要颠倒了被除数和除数（未知 数的系数作除数——分母） 注：当题目要求时，此步骤必须表达出来. 说明： （1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个 方程都必须经过六个步骤； （2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； （3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形 式，再依照一般方法解. 考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元 一次方程组. 特别说明： 判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有 两个未知数，并且未知数的次数都是 1 次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式 a1 x  b1 y  c1 � � a2 x  b2 y  c2 � 特别说明： a1、a2 不同时为 0，b1、b2 不同时为 0，a1、b1 不同时为 0，a2、b2 不同时为 0. 3. 二元一次方程组的解法 (1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 特别说明： （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是 研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透． （2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系： 当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一 个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元 一次方程可以转化为：当 y＝0 时，求 x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横 坐标的值. 考点三、一次方程（组）的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤： 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系； 2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)； 4.解:解所列的方程(组)； 5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际 意义)； 6.答:注意单位和语言完整. 特别说明： 列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方 程两边的数值相等. 【典型例题】 类 型 一 、 一 元 一 次 方 程 及 其 应 用 1．（2020·浙江浙江·模拟预测）已知关于 x 的一元一次方程（a+3）x|a|﹣ 2 +6=0，则 a 的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2 【答案】A �a  2  1 � 解：由题意得： � a  3 �0 ， 所以，a=3， 故选 A. 举一反三： 【变式 1】（2019·福建漳州·一模）若 x=2 是关于 x 的一元一次方程 ax－2=b 的解， 则 3b－6a+2 的值是( ). A．－8 B．－4 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据已知条件与两个方程的关系，可知 2a- 2= b，即可求出 3b-6a 的值，整体 代入求值即可． 解：把 x=2 代入 ax－2=b，得 2a- 2= b． 所以 3b-6a=-6． 所以，3b－6a+2=-6+2=-4. 故选 B． 【点拨】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知 数的值叫做一元一次方程的解． 【变式 2】（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于 x 的方程 mx 2 m﹣1 （﹣）＝ m 1 x -2 0 如 果是一元一次方程，则其解为_____． 【答案】 x＝2 或 x  2 或 x=-3． 【分析】利用一元一次方程的定义判断即可． 解：Q 关于 x 的方程 mx 2m﹣1 （﹣）﹣＝ m 1 x 2 0 如果是一元一次方程， 1 1 ，即 m＝1 ， （1）当 2m﹣＝ 2 0 即 x﹣＝ 解得： x＝2 ， （2）当 m=0 时，  x  2＝0 ， 解得： x  2 1 （3）当 2m-1=0，即 m= 2 时， 1 1 方程为 2  2 x  2  0 解得：x=-3， 故答案为 x=2 或 x=-2 或 x=-3． 【点拨】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的 关键． 【变式 3】（2020·河北·邯郸市邯山区创 A 扬帆初中学校二模）已知关于 x 的方程 5 x  2  3 x  16 的解与方程 4a  1  4  x  a   5a 的解相同，则 a  _______；若  m 表示不 a 大于 m 的最大整数，那么 [  1]  __________． 2 【答案】7 2 【分析】求出第一个方程的解，因为两个方程的解释相同的，则把第一个方程的解代 5 �� a [  1] �� 2 ，根据定义即可求出答案． 入第二个方程即可求出 a ；将 a 代入 2 得到 �� 解： 5 x  2  3x  16 5 x  3 x  2  16 2 x  18 x9 将 x  9 代入 4 a  1  4  x  a   5a ， 4 a  1  4  9  a   5a 4a  1  36  4a  5a 5a  36  1 a7 Qa 7 7 � �� 5 �  �  1� �� 2 2 � �� 2 � ． 故答案为：7；2． 【点拨】本题考查了解一元一次方程和新定义下的实数运算，熟练应用等式的性质解 方程及理解新定义是解题的关键． 2．（2021·重庆实验外国语学校二模）4 月 30 日，某水果店购进了 100 千克水 蜜桃和 50 千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的 1.2 倍，水蜜桃以每千克 16 元的价格 出售，苹果以每千克 20 元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利 1800 元． （1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？ （2）5 月 1 日，该水果店又以相同的进价购进了 300 千克水蜜桃，第一天仍以每千 克 16 元的价格出售，售出了 8a 千克，且售出量已超过进货量的一半．由于水蜜桃不易 保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格降低了 a%，到了晚上关店时，还剩 20 千克没 有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为 2660 元，求 a 的值． 【答案】（1）5 元；（2）25 【分析】 （1）根据题意和当天两种水果均全部售出，水果店获利 1800 元，可以列出相应的方 程，从而可以求得水蜜桃的进价是每千克多少元； （2）根据题意和结果这批水蜜桃的利润为 2660 元，可以列出关于 a 的方程，再根据 第一天仍以每千克 16 元的价格出售，售出了 8a 千克，且售出量已超过进货量的一半．即 可求得 a 的值． 解：（1）设水蜜桃的进价是每千克 x 元，则苹果的进价是每千克 1.2x 元， （16﹣x）×100＋（20﹣1.2x）×50＝1800， 解得 x＝5， 答：水蜜桃的进价是每千克 5 元； （2）由题意可得， 1 16×8a＋（300﹣8a﹣20）×16×（1﹣a%）﹣300×5＝2660 且 8a＞ 2 ×300， 解得 a＝25， 答：a 的值是 25. 【点拨】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的 等量关系，列出相应的方程． 举一反三： 【变式】（2021·黑龙江道里·三模）某商店准备购进甲、乙两种商品，若购进一个 甲商品比购进一个乙商品多用 50 元；若购进 4 个甲商品与购进 5 个乙商品所用金额相 同． （1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）该商店甲商品每个的售价定为 280 元，乙商品每个的售价定为 220 元，若商 店购进乙商品的数量比购进甲商品的数量的 2 倍还多 5 个，若购进的甲、乙两种商品全 部售出后总获利不少于 5000 元，求该商店至少购进甲商品多少个？ 【答案】（1）甲商品的进价为 250 元，乙商品的进价为 200 元；（2）该商店至少购 进甲商品 70 个． 【分析】 （1）设购进乙商品的进价为 x 元，则购进甲商品的进价为 ( x  50) ,根据等量关系“购进 4 个甲商品与购进 5 个乙商品所用金额相同