平行线（证明）模块涉及的 27 个考点梳理 考点1 真假命题的判断 如果命题的条件成立，那么结论也成立．像这样的命题叫做真命题，命题的条件成立时，不能保证结论总 是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题。 例题1 下列各命题中，假命题是（　　） A．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 B．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等 C．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等 D．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【解析】A、有两边及其中一边上的中线对应相等两个三角形全等，可利用证两步全等方法求得，是真命 题； B、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题； C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题； D、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题； 选 B． 【小结】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是全等三角形的判定． 变式1 下列四个命题：①相等的两个角是对顶角；②同角的补角相等；③若 PA+PB＝AB，则点 P 必在线 段 AB 上；④两个形状相同的三角形是全等三角形．其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据对顶角、补角的概念、线段的概念、全等三角形的概念判断即可． 【解析】①相等的两个角不一定是对顶角，本小题说法是假命题； ② 同角的补角相等，本小题说法是真命题； ③ 若 PA+PB＝AB，则点 P 必在线段 AB 上，本小题说法是真命题； ④ 两个形状相同、大小相等的三角形是全等三角形，本小题说法是假命题； 选 B． 【小结】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假 关键是要熟悉课本中的性质定理． 变式2 下列命题中真命题的个数有（　　） （1）经过一点有且只有一条直线与这条直线平行 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直 （4）过直线 m 外一点 P 向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点 P 到直线 m 的距离 （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据平行公理、垂直的概念、点到直线的距离的概念判断即可． 【解析】（1）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是假命题； （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法是假命题； （3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，本小题说法是假命题； （4）过直线 m 外一点 P 向这条直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点 P 到直线 m 的距离，本小题说法 是假命题； （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，本小题说法是真命题； 选 A． 【小结】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假 关键是要熟悉课本中的性质定理． 变式3 下列命题：①如果 a＞b，那么|a|＞|b|：②如果 ac2＞bc2，那么 a＞b；③同旁内角互补；④若∠α 与∠β 互余，∠β 与∠γ 互余，则∠α 与∠γ 互余．真命题的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据绝对值、不等式的性质、平行线的性质、同角的余角相等分别对各小题进行判断后即可求解． 【解析】①当 a＝1，b＝﹣2 时，|a|＝1，|b|＝2，|a|＜|b|，故此命题假命题； ② 如果 ac2＞bc2，那么 a＞b；真命题； ③ 同旁内角互补；假命题； ④ 若∠α 与∠β 互余，∠β 与∠γ 互余，则∠α 与∠γ 相等，故此命题是假命题； 真命题的个数为 1 个； 选 B． 【小结】本题考查了命题与定理，熟记概念与性质是解题的关键． 考点2 举反例 命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、 论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。 例题2 对假命题“若 a＞b，则 a2＞b2”举反例，正确的反例是（　　） A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣2 【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【解析】用来证明命题“若 a＞b，则 a2＞b2 是假命题的反例可以是：a＝﹣1，b＝﹣2， 因为﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，所以 D 符合题意 【小结】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可 这是数学中常用的一种方法． 变式4 举反例说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，下面错误的是（　　） A．设一个角是 45°，它的余角是 45°，但 45°＝45° B．设一个角是 60°，它的余角是 30°，但 30°＜60° C．设一个角是 30°，它的余角是 60°，但 60°＞30° D．设一个角是 10°，它的余角是 80°，但 80°＞10° 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而进行判断；举反例时，满足题设， 不满足结论即可． 【解析】A、设一个角是 45°，它的余角是 45°，但 45°＝45°，能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命 题，故正确； B、设一个角是 60°，它的余角是 30°，但 30°＜60°，不能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故 错误； C、设一个角是 30°，它的余角是 60°，但 60°＞30°，能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正 确； D、设一个角是 10°，它的余角是 80°，但 80°＞10°，能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正 确； 选B 【小结】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假 关键是要熟悉课本中的性质定理． 变式5 举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题　 　． 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【解析】∵两个不相等的角互为补角，∴这两个角一个角大于 90°，一个角小于 90°， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题； 【小结】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 变式6 阅读下面材料： 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角． 请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题．（要求：画出相 应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例） 【分析】分别列举满足条件的题设，但不满足题设的结论即可． 【解析】如图，∠1+∠2＝180°； 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 【小结】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组 成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题 的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 考点3 推理与论证 例题3 妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟，洗茶壶要用 1 分钟，洗 茶杯要用 1 分钟，放茶叶要用 2 分钟，给同学打电话要用 1 分钟．为使客人早点喝上茶，小明最快可在几 分钟内完成这些工作？（　　） A．19 分钟 B．18 分钟 C．17 分钟 D．16 分钟 【分析】利用已知得出烧水时间里完成洗茶壶、洗茶杯、再放茶叶、给同学打电话最节省时间进而得答案． 【解析】小明应先洗开水壶用 1 分钟，再烧开水用 15 分钟， 在烧水期间，洗茶壶用 1 分钟，洗茶杯用 1 分钟，放茶叶用 2 分钟，给同学打电话用 1 分钟，一共用 5 分 钟，不用算入总时间，故为使客人早点喝上茶，小明最快可在 16 分钟内完成这些工作．选 D． 【小结】此题主要考查了推理与论证，合理安排时间是解题关键． 变式7 某班对道德与法治，历史，地理三门程的选考情况进行调研，数据如下：其中道德与法治，历史 两门课程都选了的有 3 人，历史，地理两门课程都选了的有 4 人，该班至多有多少学生（　　） A．41 B．42 C．43 D．44 科目 道德与法治 历史 地理 选考人数（人） 19 13 18 【分析】根据题意得，只选道德与法治有[19﹣3﹣y]＝（16﹣y）人，只选历史的有[13﹣3﹣（4﹣x）]＝ （6+x）人，只选地理的有（18﹣4﹣y）＝（14﹣y）人，即可得出结论． 【解析】如图，设三门课都选的有 x 人，同时选择地理和道德与法治的有 y 人， 根据题意得，只选道德与法治有[19﹣3﹣y]＝（16﹣y）人，只选历史的有[13﹣3﹣（4﹣x）]＝（6+x）人， 只选地理的有（18﹣4﹣y）＝（14﹣y）人，即：总人数为 16﹣y+y+14﹣y+4﹣x+6+x+3＝43﹣y 当同时选择地理和道德与法治的有 0 人时，总人数最多，最多为 43 人，选 C． 【小结】此题是推理论证的题目，主要考查了学生的推理能力，表示出只选一种科目的人数是解本题关键． 变式8 甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车 不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的 车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是（　　） A．甲的车是白色的，乙的车是银色的 B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D．丁的车是银色的，甲的车是红色的 【分析】先判断出乙和丙的车不是红色，进而判断出甲的车是红色，再根据丙的说法不是实话，判断出丁 的车是蓝色，再根据甲的说法判断出丙和乙的车的颜色． 【解析】∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的 是实话， 假设乙的车是红色， ∴乙的说法是实话， ∴丙的车也是红色，和乙的车是红色矛盾， 假设丙的车是红色， ∴丙的说法是实话，而乙说：“丙的车是红色的．”， ∴乙的