9.15 十字相乘法 （基础知识 +基本题型） 知识点一 十字相乘法 1.二次三项式 2 （1）多项式 ax +bx +c ，称为字母 a 的二次三项式，其中 2 ax 称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项． 2 例如： x −2 x−3 （2）在多项式 2 和 x +5 x+ 6 x 2−6 xy+8 y 2 都是关于 x 的二次三项式． 中，如果把 x 看作常数，就是关于 y 的二次三项式；如果把 y 看作常 数，就是关于 x 的二次三项式． 2 2 （3）在多项式 2 a b −7 ab+3 中，把 ab 看作一个整体，即 的二次三项式．同样，多项式 ( x+ y )2 +7 (x + y )+12 ，把 (xy) 2(ab )2 −7 ab+3 ，就是关于 ab 看作一个整体，就是关于 (xy) 的二次三项式． 2．十字相乘的依据及内容 1. 如果二次三项式 x2 + px + q 中的常数项 q 能分解成两个因数 a、b 的积，而且一次项系数 p 又恰好是 a 与 b 的和，那么 x2 + px + q 就可以进行 如下的因式分解，即 x2 + px + q= 2 x   b  a b   a  b a x x x  2. 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，一般地， x2 + px + q= 2 x   b  a b   a  b a x x  x  (一) 二次项系数为 1 的二次三项式 可以用十字交叉线表示 2 直接利用公式—— x +( p+ q) x+ pq=(x + p )( x+q) 进行分解。 特点：（1）二次项系数是 1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 方法的特征是：“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相 同． 2 （二）二次项系数不为 1 的二次三项式—— ax +bx +c 2 对 于 二 次 项 系 数 不 是 的 1 二 次 三 项 式 ax +bx +c =a1 a2 x 2 +(a1 c 2 + a2 c 1 )x +c 1 c 2 =( a1 x+ c 1 )(a 2 x+ c 2 ) 它的特征是：“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符 号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积 的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 条件：（1） （2） （3） a=a1 a 2 a1 c=c1 c 2 a2 b=a1 c 2 +a2 c 1 2 分解结果： ax +bx +c c1 = c2 b=a1 c 2 +a2 c 1 (a1 x +c 1 )(a2 x +c 2 ) 知识点二 双十字相乘法（拓展） （1）适用范围：双十字相乘法适用于对形如 解. Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey +F 的二次多项式进行因式分 A=a1 a 2 ， C=c 1 c 2 ， F=f 1 f 2 （2）条件：① ② a1 c2 +a2 c 1=B ， c 1 f 2 +c 2 f 1=E ， a1 f 2 + a2 f 1=D a1x 即： a2x 则 f1 c1 y f2 c2 y 2 2 x  c y  f x  c  f a  1 1 12 2 2 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey +F=  a （3）步骤： x  B x y  C y  x  c y x  c y a a  ，用十字交叉线表示（共两列）； ① 用十字相乘法分解二次三项式 A 11 2 2 2 2 y  E y  F  y  f y  f c c  ，继续用十字交叉线表示， 即把常 ② 用十字相乘法分解二次三项式 C 1 1 2 2 2 数项 F 分解成两个因式填在第三列上. 2 x  f x  f a  ，若相等，则双十字 1 1 2 2 ③ 用十字相乘法分解二次三项式 A x  D x F ，检验是否等于  a 相乘法分解因式成功. 考点一 能用十字相乘法因式分解的判断 2 【例 1】如果二次三项式 x  ax  9 （ a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么 a 可取值的个数是（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．无数个 【答案】A 【分析】 2 根据 x  ax  9 的二次项系数为 1，常项数为-9，进行组合分解因式即可得到答案. 【详解】 解：∵1=1×1，-9=3×（-3）或-9=9×（-1）或 9=1×（-9）且 a 为整数 ∴ x 2  ax  9   x  3  x  3  x 2  9 ， x 2  ax  9   x  9   x  1  x 2  8 x  9 x 2  ax  9   x  9   x  1  x 2  8 x  9 2 又∵ x  ax  9 是一个二次三项式， ∴ ∴ x 2  ax  9   x  3  x  3  x 2  9 不合题意 x 2  ax  9   x  9   x  1  x 2  8 x  9 或 x 2  ax  9   x  9   x  1  x 2  8 x  9 ∴ a  �8 故选 A. 【点睛】 本题主要考查了因式分解的知识，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的相关知识. 【例 2】下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（ A． C． x3  x  2 B． x 6  3 x3 y 2  2 y 4 D． ） x 4  10 x 2  24  x  3 y   x  3 y  2   15 【答案】A 【分析】 根据“十字相乘法”分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】 A. x3  x  2 ，不能利用十字相乘法分解，本选项符合题意；   4 2 2 x 2  6)   x  2   x  2  x 2  6 B. x  10 x  24 =( x  4 )( ，本选项不合题意；  6 3 2 4  x3  2 y 2 C. x  3x y  2 y D. x 3  y2  ，本选项不合题意；  x  3 y   x  3 y  2   15   x  3 y   2  x  3 y   15 2   x  3 y  5  x  3 y  3 ，本选项不合题意． 故选：A 【点睛】 本题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 考点二 十字相乘法进行因式分解 【例 3】分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝___． 【答案】  x  9y  x  2y 【分析】 根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】 x2﹣7xy﹣18y2 故答案为：   x  9y  x  2y  x  9 y  x  2 y ， ． 【点睛】 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【例 4】将下列各式分解因式： （1） 6 y 2  19 y  15 ；（2） 14 x 2  3x  27 【答案】（1） (2 y  3)(3 y  5) ；（2） (2 x  3)(7 x  9) 【分析】 （1）直接利用十字相乘法分解因式即可； （2）直接利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】 2y 3 � 解：（1）因为 3 y 5 即 9 y  10 y  19 y ， 所以：原式＝ (2 y  3)(3 y  5) ； 2x 3 � （2）因为 7 x 9 即 21x  18 x  3 x ， 所以：原式＝ (2 x  3)(7 x  9) ． 【点睛】 本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项 系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数． 考点三 根据十字相乘法求字母 【例 5】若多项式 x2+ax+b 可分解为(x+1)(x+4)，则 a＝________，b＝________． 【答案】5 4 【分析】 把(x+1)(x+4)展开，合并同类项，可确定 a、b 的值． 【详解】 解：∵(x+1)(x+4)， = = ∴ x2  4 x  x  4 x2  5x  4 ， ， a  5，b  4 ； 故答案为：5，4． 【点睛】 本题考查了因式分解和多项式乘多项式，解题关键是熟练运用多项式的乘法法则进行计算，取得字母的值． 考点四 拼图问题中的因式分解 【例 6】王聪同学动手剪了若干张如图所示的正方形与长方形纸片． （1）拼成如图所示的正方形，根据四个小纸片的面积和等于大纸片（正方形）的面积，有 a 验证了完全平方公式（分解因式）； 2  2ab  b2  (a  b)2 ， （2）拼成如图所示的矩形，由面积可得 a 2  3ab  2b 2  (a  2b )(a  b ) ，多项式 a 2  3ab  2b 2 分解因式的结 果是表示矩形长、宽两个整式 (a  2b) 与 (a  b) 的积． 问题： ① 动手操作一番，利用拼图分解因式 ② 猜想面积为 【答案】 2a 2  5ab  2b 2 (a  2b)(a  3b) a 2  5ab  6b 2  ________． 的矩形的长、宽可能分别为________． ，拼图见解析； a  2b ， 2a  b ． 【分析】 2 2 ① 观察 a  5ab  6b 可知由 1