9.14 公式法 （基础知识 +基本题型） 知识点一 平方差公式 平方差公式： a 2  b2   a  b   a  b  特征： ① 公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ② 每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③ 右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积． 总结 ：能用平方差公式分解因式的多项式应满足的条件： ① 式子分为两部分； ② 这两部分可写成整式（整数）的平方形式； ③ 两部分符号必须相反． 注意： （1）符合平方差公式标准形式，直接运用平方差公式分解因式 （2）若不符合标准形式，应通过变形和化简，再使用平方差公式分解因式 （3）使用平方差公式分解因式后，需将所得的因式进行化简，如能继续分解，要分解到不能分解为止 知识点二 完全平方公式 完全平方公式： a 2  2ab  b 2   a  b  2 a 2  2ab  b2   a  b  2 特征： ① 左边相当于一个二次三项式； ② 左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③ 左边中间一项是这两个数或式的积的 2 倍，符号可正可负； ④ 右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定． 总结： （1）多项式由三部分组成 （2）其中的两部分是两个式子（或数）的平方，且同号 （3）第三部分是两个式子（或数）的乘积的 2 倍，符号可正可负。 注意： （1）完全平方公式中的 a 和 b，也可以是多项式 4  y  x    yx （2）不符合完全平方公式标准形式的多项式，需进行化简和变形，如去括号， x 1 2 2 等 （3）要分解到不能再分解为止 考点一 因式分解方法的判断 【例 1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ 2 B． 25 x  4 xy 2 2 A．  x  4 y C． ） x 2   2 y  2 2 2 D．  x  y 【答案】A 【分析】 利用平方差公式逐项进行判断，即可求解． 【详解】  x2  4 y 2  4 y 2  x2   2 y   x2   2 y  x   2 y  x  2 解：A、 B、 25 x 2  4 xy  x  25 x  4 y  x 2   2 y   x 2   2 y  2 C、 D、   x2  y 2   x2  y 2  ，能用平方差公式分解因式，故本选项符合题意； ，不能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意 ； 2 ，不能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意 ； ，不能用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意 ； 故选：A 【点睛】 本题主要考查了用平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式 【例 2】下列各式可以用完全平方公式因式分解的是( A． x 2  2 xy  4 y 2 B． ) a 2  2ab  b 2 a2  b2   a  b   a  b  是解题的关键． 1 2 C． 4m  m  4 D． 9  6x  x 2 【答案】D 【分析】 由完全平方公式： a 2 �2ab  b 2 =  a �b  2 的特点逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】 x 2  2 xy  4 y 2 =x 2  x g2 y   2 y  , 2 解：由 a 2  2ab  b2 不符合公式特点，故 A 错误； B 也不符合公式特点，故 错误； 2 1 1 �1 � 2 4m 2  m  =  2m   2mg  � �, 4 2 �2 � 不符合公式特点，故 C 错误； 9  6 x  x 2 =32  2 �3gx  x 2   3  x  , 2 符合公式特点，故 D 正确； 故选 D ． 【点睛】 本题考查的是利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解题的关键． 考点二 用公式法因式分解 25  a  b  c   4  a  b  c  2 【例 3】（1） 【答案】 2  7a  3b  3c   3a  7b  7c  【分析】 利用平方差公式 a 2  b 2  ( a  b)( a  b) 进行因式分解，再去括号、合并化简即可． 【详解】 � 5 a  b  c   2 a  b  c � 5 a  b  c   2 a  b  c  � �� � � 解：原式 �   5a  5b  5c  2a  2b  2c   5a  5b  5c  2a  2b  2c    7 a  3b  3c   3a  7b  7c  ． 【点睛】 本题考查用平方差公式因式分解、整式的加减运算，熟记平方差公式，灵活运用公式分解因式是解答的关 键． （2）  3a  2b  【答案】 2   a  4b  2 4  2a  b   a  3b  【分析】 首先根据平方差公式进行因式分解，然后对每项合并同类项． 【详解】 解：原式   3a  2b+a  4b  � 3a  2b   a  4b  � � �   4a  2b   3a  2b  a  4b   2  2a  b   2a  6b   4  2a  b   a  3b  【点睛】 本题考查因式分解，熟练利用提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题关键． 【例 4】（1）分解因式： 【答案】 6 xy 2  9 x 2 y  y 3  y (3x  y ) 2 【分析】 本题首先提取公因式，继而利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】 原式  y (6 xy  9 x 2  y 2 )   y (9 x 2  6 xy  y 2 )   y (3 x  y ) 2 ． 【点睛】 本题考查因式分解，解题关键在于对平方差、完全平方公式、提公因式法等法则的运用，其次注意计算仔 细． 4  x  y   20  x  y   25 2 （2）因式分解：  2 x  2 y  5 【答案】 2 【分析】 利用完全平方公式进行分解因式即可得答案． 【详解】 4  x  y   20  x  y   25 2 2 � 2 x  y � � 2 �2  x  y  �5  5 = � 2 � 2 x  y   5� � = � 2 =  2 x  2 y  5 2 ． 【点睛】 本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 考点三 因式分解进行计算 【例 5】利用分解因式计算： 3 5 （1） 99 8 �100 8 2 2 （2） 201  52  253 �851 39 【答案】（1） 9999 64 ；（2） 253000 【分析】 （1）利用平方差公式运算； （2）先利用平方差公式进行运算，然后再提公因式继续运算即可． 【详解】 5� 5� � � � 100  � 100  � � 8 8� � � （1）原式 � 2 �5 �  1002  � � �8 �  10000   9999 25 64 39 64 （2）原式   201  52  � 201  52   253 �851  253 �149  253 �851  253 � 149  851  253 �1000  253000 【点睛】 本题考查了因式分解，根据具体数据分析确定因式分解的方法是解题的关键． 考点四 利用因式分解解决整除问题 【例 6】求证：当 n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 运用平方差公式将（2n+1）2-（2n-1）2 化简，得出结果含有因数 8 即可． 【详解】 证明：当 n 是正整数时，2n－1 与 2n+1 是两个连续奇数 则(2n+1)2－(2n－1)2=(2n+1+2n－1)(2n+1－2n+1)=4n×2=8n，8n 能被 8 整除 ∴这两个连续奇数的平方差是 8 的倍数. 【点睛】 本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式进行计算.