第一章 有理数 --------------1.1 正数与负数 ① 大于 0 的数叫正数。 ② 在正数前面加上“-”号的数，叫做负数。 ③0 既不是正数也不是负数。0 是正数和负数的分界，是唯一的中性数。 ④ 搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等。 ⑤ 正整数、 0、负整数统称整数（结合数轴和一元一次方程出题），正分数和负分数统称分数。 整数和分数统称有理数。 ⑥ 非负数就是正数和零；非负整数就是正整数和 0。 -------------1.2 数轴 ① 通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。 ② 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 ③ 数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都 是表示有理数。 ④ 只有符号不同的两个数叫做互为相反数（和为零）。（例：2 的相反数是-2，；0 的相反数是 0） ⑤ 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值,记作|a|。 从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离（无方向性，有两个点）。 ⑥ 数轴上两点间的距离 =|M—N| ⑥ 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。 ⑦ 两个负数，绝对值大的反而小。 ⑧|a|≥0（即非负性）；绝对值等于一个正数的值有两个（两个互为相反数）如： |a|=5， a=5 或 a=－ 5 -------------1.3 有理数的大小 ① 数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大。 ② 负数小于零，零小于正数，负数小于正数。 ③ 两个负数的比较大小，绝对值大的反而小。 -------------1.4 有理数的加减法 ① 有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝 对值。互为相反数的两个数相加得 0。 3.一个数同 0 相加，仍得这个数。 ② 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 -------------1.5 有理数的乘除法 ① 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同 0 相乘，都 得 0。 1 乘积是 1 的两个数互为倒数 (积为 1)如：（－ 2） ×（－ 2 ） =1。 ② 有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。 -------------1.6 有理数的乘方 ① 求 n 个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在 a 的 n 次方中，a 叫做底数，n 叫做 指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（负奇负，负偶正）。正数的任何次幂都是 正数， 0 的任何次幂都是 0。 ② 偶次方等于一个正数的值有两个（两个互为相反数）如： a2=4， a=2 或 a=－ 2 注意： |a|＋ b²=0 得： a=0 且 b=0 熟记：a0=1(a≠0)；（－ 1） 2=1 ；－ 12=－ 1； （－ 1） 3=－ 1；－ 13=－ 1； （ -2） 2 =4； -22=－ 4；（ -2） 3 =－ 8； -23=－ 8 ③ 有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先 做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 n ④ 把一个大于 10 的数表示成 a× 10 的形式，使用的就是科学计数法，注意 a 的范围为 1≤a <10； n 比原整数位减 1。（注意科学计数法与原数的互化）。 ⑤ 四舍五入到哪一位就是精确到哪一位，四舍五入时望后多看一位采用四舍五入。比如： 3.5449 精确到 0.01 就是 3.54 而不是 3.55. （再如： 2.40 万：精确到百位；6.5×104 精确到千位， 有数量级和科学计数法的要还原成原数，看数量级和科学计数法的最后一个数）。 第二章 整式的加减(化简：有括号去括号，能合并的合并) ----------2.1 用字母表示数 1、字母可以表示任何数。 2、字母表示数具有随机性 3、国际惯例和约定俗成的规定要遵守。 4、在同一个问题里不同的数字要用不同的字母来表示。 5、偶数：能被 2 整除的整数叫偶数。 三个连续偶数： 2n－ 2， 2n， 2n＋ 2（相差 2）。 6、奇数：不能被 2 整除的整数叫做奇数 三个连续奇数： 2n－ 1， 2n＋ 1， 2n＋ 3（相差 2）。 ----------2.2 代数式 1、用加、减、乘（乘方）、除等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。 （注：单独一个数字或字母也是代数式） 2、代数式的写法：数学与字母相乘时，“×”号省略，数字写在字母前；字母与字母相乘时，相同字 母写成幂的形式；数字与数字相乘时，“×”号不能省略；式中出现除法时，一般写成分数形式。式 中出现带分数时，一般写成假分数形式。 3、多项式有单位时要加（ ）； 4、单项式：由数字和字母乘积组成的式子。单独一个数或一个字母也是单项式．因此，判断代数 式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是相乘关系， 若式子中含有加、减运算关系，不是单项式． 单项式的系数：是指单项式中的数字因数；（不要漏负号和分母） 单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和．（注意指数 1） 5、多项式：几个单项式的和。判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项 式．每个单项式称为项，（其中不含字母的项叫常数项）多项式的次数是指多项式里次数最高 项的次数（选代表）；多项式的项是指在多项式中每一个单项式．特别注意多项式的项包括它 前面的性质符号． 它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号 。 6、代数式分为整式和分式（分母里含有字母的是分式）；整式分为单项式和多项式。 ----------2.3 整式的加减 ① 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。（简称“二个相同，二个无关”） ② 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。 ③ 合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，所含字母部分 不变，相同字母的指数不变（ “两不变”） ④ 题目标明不含某字母项时，就是某字母项的系数为 0 ⑤ 字母的升降幂排列：按某个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列。 ⑥ 如果括号外的符号是＋号，去括号和符号后原括号内各项的符号不变；如果括号外的符号是－ 号，去括号和符号后原括号内各项的符 号改变；括号前有数字时，要连着符号相乘。 第三章 一次方程与方程组 -----------3.1 一元一次方程及其解法 ① 方程是含有未知数的等式。 ② 方程都只含有一个未知数（元）x，未知数 x 的指数都是 1（次），这样的整式方程叫做一元一次 方程。 ③ 注意判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点： 1）未知数所在的式子是整式（ 方程是整式方程） ； 2） 化简后方程中只含有一个未知数；（系数中含字母时不能为零） 3）经整理后方程中未知数的次数是 1. ④ 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。方程的解代 入满足，方程成立。 ⑤ 等式的性质： 1）等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子（整式或分式），等式不变（结果仍相等）。 a=b 得： a±c=b±c 2）等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式不变。 a=b 得： a×c=b×c 或 a÷c=b÷c（ c≠0） 注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时＋、－、 ×、 ÷；运用性质 2 时，一定要注意 0 ⑥ 解一元一次方程一般步骤： 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数） → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化 1； 以上是解一元一次方程五个基本步骤，在实际解方程的过程中，五个步骤不一定完全用上，或有 些步骤还需要重复使用. 因此，解方程时，要根据方程的特点，灵活选择方法. 在解方程时还要注意 以下几点： ⑴ 去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；分子是一个多项 式，去分母后应加上括号； 注意： 去分母（等式的基本性质）与分母化整（分数的基本性质）是两个概念，不能混淆； ⑵ 去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号 不要漏乘括号的项；不要弄错符号 （连着符号相乘）； ⑶ 移项： 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（以 =为界限）， 移 项要变号； ⑷ 合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那 样写能连等的形式. ⑸ 系数化 1：（两边同除以未知数的系数）把方程化成 ax＝b（a≠0）的形式，字母及其指数不 变系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系 数 a，得到方程的解不要分子、分母搞颠倒（一步一 步来） --------3.2 一次方程的应用： （一）、概念梳理 ⑴ 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数 量关系，注意单位统一，注意设未知数； ① 解： 设出未知数（注意单位）， ③ 解这个方程， ② 根据相等关系列出方程， ④ 答（包括单位名称，检验）。 ⑵ 一些固定模型中的等量关系： ① 数字问题： abc 表示一个三位数，则有 abc =100a+10b+c（数位上的数字 ×位数） ② 行程问题：基本公式：路程 =时间 ×速度 甲乙同时相向行走相遇时：甲走的路程 +乙走的路程 =总路程 甲走的时间=乙走的时间； 甲乙同时同向行走追及时：甲走的路程－乙走的路程 =甲乙之间距离 ③ 工程问题（整体 1）：基本公式：工作量 =工作时间 ×工作效率 各部分工作量之和 = 总工作 量； ④ 储蓄问题：本息和 =本金 +利息；利息 =本金 ×利率 ×时间 ⑤ 商品销售问题：商品利润 =售价－进价（成本价） 商品利润率 =（售价－进价） ÷进价 ⑥ 等积变形问题：面积或体积不变 ⑦ 和、差、倍、分问题：多、少、几倍、几分之几 ⑧ 按比例分配问题：一般设每份为 x 如： 2:3:4 为 2x、 3x、 4x ⑨ 资源调配问题：资源、人员的调配（有时要间接设未知数）（略写，具体见讲义内容） （二）、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结） ⑴ 模型思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想. ⑵ 方程思想：用方程解决实际问题的思想（如：按比例分配、线段的长、角的大小等）就是方程 思想. ⑶ 转化（归纳）思想：解一元一次方程的过程，实质