专题 4.13 平面直角坐标系-最值问题（专项练习） 一、单选题 1．在平面直角坐标系中， A．6 ，点 B 是 x 轴上一点，则线段 AB 的最小值是（ B．5 2．已知 m 为整数，点 是（ A  4,5  M  2m  1, m  3 C．4 ） D．3 关于 y 轴的对称点在第一象限，则 m 的最大值 ） B． m  2 A． m  1 D． m  5 C． m  4 A  2, m  y 3．如图，直线 AB 经过原点 O ，点 C 在 轴上， D 为线段 AB 上一动点，若 ， B  3, n  ， C  0, 2  A．1 ， AB  10 ，则 CD 长度的最小值为（ B．2 ） 1 D． 3 1 C． 2 4．如图，点 A ， B 分别为 x 轴、 y 轴上的动点， AB  2 ，点 M 是 AB 的中点，点 C  0, 3 （ ， D  8, 0  ，过 C 作 CE ∥ x 轴．点 P 为直线 CE 上一动点，则 PD  PM 的最小值为 ） A． 85 B．9 C． 89 D． 3 2 5 5．如图，在平面直角坐标系中 OP 的最小值是（ A． 24 5 A  3, 0  ， B  0, 4  ，点 P 是线段 AB 上的一个动点，则 ） B． 12 5 C．4 D．3 BC � 6．如图，正 VABC 的边长为 6，过点 B 的直线 l  AB ，且 VABC 与 △ A� 关于直线 l 对称，D 为线段 BC � 上一动点，则 AD  CD 的最小值是（ A．10 B．12 C．16 ） D．18 7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上．顶点 B 的坐标 为（3， 3 ），点 C 的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（　 　） A． 2 3 B． 8．平面直角坐标系 xOy 中，已知 VABC 周长的最小值为（ A． 13 C． A  1,1 ， B  2,3 D． 11 两点，C 为 x 轴上一动点，则 ） B． 2  13 C．5 9．如图，点 A 在 y 轴上，点 B 、 C 在 x 轴上， 对称， 7 D． B  4, 0  ， D  2, 0  5  13 y ， DB 与 EC 关于 轴 DP  PQ  EQ Q AC �CAB  60� P AB ，点 、 分别是边 、 上的动点，则 的最小值是 （） A．6 B．8 C．10 D．12 10．在平面直角坐标系中，点 A 、 B 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上， ABC 是等边三角形， P 是 AC 边上动点，连接 BP ，以 BP 为边在 BP 的右侧作等边三角形 BPF ，连接 CF ． ABC 的面积为 16 3 ， OB 的中点为 M P ，当点 在 AC 边上运动时，线段 MF 的最小值为 （ ） A． 4 3 B． 2 3 C． 3 3 D．4 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中， RtVOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 的坐标 为（4，4），点 C 的坐标为（1，0），且 �AOB  45�，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 PA  PC 的最小值为______． 12．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 为等边三角形，AB 丄 x 轴，AB=2，点 C 的 坐标为（1，0），点 P 为 OB 边上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为_______． 13．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 坐标（0，3），点 B 坐标（4，0），AB＝ 5，∠OAB 的平分线交 x 轴于点 C，点 P、Q 分别为线段 AC、线段 AO 上的动点，则 OP＋ PQ 的最小值为___． 14．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上，点 B，C 在 x 轴上，点 A，C 坐标分 别为 A（0，4），C（3，0），AB＝AC＝5，点 P 在 y 轴上移动，点 Q 在线段 AB 上移动． 则 BP+PQ 的最小值为 _____． 15．在平面直角坐标系中，A（2,0），B（0,4），过点 B 作直线 l∥ x 轴，点 P（a，4）是线 l 上的动点，以 AP 为边在 AP 右侧作等腰 Rt∆APQ，使∠APQ＝90°． （1）当 a＝0 时，则点 Q 的坐标是____________． （2）当点 P 在直线 1 上运动时，点 Q 也随之运动，则 OQ 的最小值是______________ __． 16．如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，4）在 y 轴正半轴上，点 B（－3，0）在 x 轴负半轴上，且 AB=5，点 M 坐标为（3，0），N 点为线段 OA 上一动点，P 为线段 AB 上 的一动点，则 MN+NP 的最小值为___________． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(﹣3.2，0)，点 B(1.8，0)，点 C 在 y 轴上， 且 AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，点 P 为线段 AB 上一动点，连接 CP，过点 P 作 PM⊥AC 于点 M，作 PN⊥BC 于点 N，则当线段 CP 取最小值时， 18．如图，在平面直角坐标系中， A  1,3 ， PN 的值为_________． PM B  4,1 ，点 M 在 x 轴上，则 MA  MB 取 得最小值为______． 19．∠AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB 内有一点 P（3， 7 ），M，N 分别是 OA，OB 边上的动点，连接 PM，PN，MN，则△PMN 周长的 最小值是______． 20．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A=30°，点 A（3，0），B（1，0）．根据教材第 65 页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在 Rt△ABC 中， 1 AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点 D 是 AB 边上的动点，则 CD+ 2 AD 的最 小值为______． 三、解答题 21．在如图所示的方格(每个小正方形的边长为 1)中， VABC 的顶点 A 的坐标为 顶点 C 的坐标为 ，  11 ． (1) 在方格图中建立坐标系，并标出原点； (2) VABC 的面积是________； 3  2， ， (3) 试确定 y 轴上一点 P，使得 AP  BP 的和最小，求出 AP  BP 的最小值，并画出点 P，保留作图痕迹． 22．在平面直角坐标系 xoy 中，等腰 VABC 的三个顶点 A 的坐标是（0，1），点 B 在 x 轴的正半轴上且 �ABO  30�，点 C 在 y 轴上． (1) 写出所有满足题意的点 C 的坐标； � (2) 若点 P 关于直线 AB 的对称点 P 在 x 轴上，且 AP  1 ，图中 P1 、 P2 、 P3 、 P4 中，符 合条件的点 P 是___________； (3) 在（2）的条件下，在 y 轴上找到一点 M，使 PM  BM 的值最小，则这个最小值为 _________． 23．如图，在平面直角坐标系中，每格代表 1 个单位，三角形的三个顶点都在格点上． (1) 请写出 A，B，C 的坐标． (2) 求出三角形 ABC 的面积． (3) 点 P 是 x 轴上的一个动点，求 PA＋PC 的最小值 24．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中， a  4   c  3  0 2 A（a，0），B（0，b），C（0，c）， ，b 为 7 的整数部分． (1) a＋b＋c＝　 　； (2) 点 P 为坐标平面内的一个动点，若 S△PBC＝2S△ABC，求点 A 与点 P 距离的最小值； (3) 如图 2，点 D 在线段 AB 上，将点 D 向右平移 4 个单位长度至 E 点，若△ACE 的面 积等于 14，求点 D 坐标． 25．如图， A(4,1) ， B (1,1) ， C (3,3) 都在边长为 1 个单位的正方形网格的格点上． (1) 判断 VABC 的形状，并说明理由； (2) 画出点 C 关于直线 AB 的对称点 D ，连 CD ， BD ．直接写出 S△ CDB 为 ； (3) 点 P ， Q 分别为边 AB ， BC 上的动点，请找出点 P ， Q 的位置，使得 CP  PQ 最小， 直接写出 CP  PQ 的最小值为 ． 26．在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为  6, 0  ，点 B 在第一象限， VOAB 为等边三角 形，点 C 为 y 轴上一动点，以 AC 为边在 AC 下方作等边 △ PAC ，连接 BC，OP． (1) 如图 1，当点 C 在 y 轴正半轴上时，求证： OP  BC ； (2) 如图 2，当点 C 在 y 轴负半轴上时，请在图 2 中补全图形，并判断（1）中的结论是 否还成立？并说明理由； (3) 设点 P 的横坐标为 m，根据上述探究，请问 OP 的长是否有最小值？若有，直接写 出 OP 长的最小 值及此时 m 的值；若没有，请简要说明理由． 27．直线 AB 与 x 轴交于 A（m，0），与 y 轴交于点 B（0，n），且 m，n 满足 (m  n) 2  n  4  0 (1) m= ． ，S△ABO= ； (2) 如图 1，D 为 OA 延长线上一动点，以 BD 为直角边作等腰直角△BDE，连接 EA， 求直线 EA 与 y 轴交点 F 的坐标． (3) 如图 2，P 为 y 轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF 平分∠OAP，M 是射线 AF 上一 动点，N 是线段 OA 上一动点，求 OM+MN 的最小值．（图 1 与图 2 中点 A 的坐标相同） 参考答案 1．B 【分析】先画出图形，再根据点到直线的距离垂线段最短可得答案． 解：如图， A  4,5  ，点 B 是 x 轴上一点，则线段 AB 的最小值垂线段 AB 的长度， 此时 AB  5, 故选 B 【点拨】本题考查的是垂线段最短，坐标与图形，掌握“垂线段最短”是解本题的关键． 2．A 【分析】先求得