初中数学北师大版学习笔记（数学思想、方法归纳） 七年级上学期第五章一元一次方程 一、你今年几岁了？ 1、方程（含有未知数的等式叫做方程） 2、在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是 1，这样的方程 叫做一元一 次方程（linear equation with one unknown）． 使方程左、右两边的值相等的未知数 的值，叫做方程的解。 3、等式的基本性质： 等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式。 二、解方程 1、移项 把方程的一项从一边移动到另一边，这种变形叫做移项。 注意：移项的过程要更改符号。 2、解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程，一般要通过①去分母 ②去括号 ③移项 ④合并同类项 ⑤将未知数的系 数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程“转化”成 x=a 的形式。 移项解一元一次方程时需注意： 1） 移项的依据是等式的基本性质，移项中强调移动的项必须改变符号； 2） 利用移项解一元一次方程习惯上将含有未知数的项移到方程的左边，不含未知数 的项移到方程的右边。 三、用一元一次方程解决实际问题 用一元一次方程解决实际问题的步骤为： ① 找出等量关系式 ②设未知数 ③列方程 ④解方程 ⑤检验 可以简化为五个字：“找、设、列、解、检”来记忆。 1、水箱变高了 在形积变化问题中，常见问题有以下几种情况： (1)形状发生改变，而体积不变，相等关系：变化前后体积相等； (2)形状、面积发生改变，而周长不变，相等关系：变化前后周长相等； (3)形状、体积不同，但根据题意能找出体积、面积之间的关系，把这个关系作为相等 关系. 2、打折销售 (1)利润＝售价－成本价(进价)； (2)利润率＝×100%； (3)售价＝成本价＋利润＝成本价×(1＋利润率)； (4)售价＝原价×。 3、追赶小明 1）相遇问题即相向而行，等量关系：双方所走路程之和＝全部路程； 2）追及问题即同向而行，等量关系：双方行程的差＝原来的路程(开始时双方相距的 路程). 3）航行问题即行程问题，等量关系：①船在静水中速度＋水速＝船的顺水速度；② 船在静水中速度－水速＝船的逆水速度. 四、《一元一次方程》常用的数学思想方法 4.1、数形结合思想 数结合思想：就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。使抽象 思维和形象思维结合起来，通过“以形助数”，和“以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题 具体化. 数形结合思想为什么那么重要呢？因为很多题目只要结合图形，就会变得非常简单，下面 我们来看一道例题： 例 1、已知有理数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c| ∵﹣a＞0，a+c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0， ∴|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c| ＝（﹣a）﹣（a+c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c） ＝﹣a﹣a﹣c﹣b+2a﹣b+c ＝﹣2b． 例 2、如图，已知点 A 在数轴上对应的数为 a，点 B 对应的数为 b，且 a、b 满足|a+3|+ （b﹣2）2＝0． （1）求 A、B 所表示的数； （2）点 C 在数轴上对应的数为 x，且 x 是方程 2x+1＝ x﹣8 的解 ① 求线段 BC 的长； ② 在数轴上是否存在点 P，使 PA+PB＝BC？求出点 P 对应的数；若不存在，说明理由． 解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0， ∴a+3＝0，b﹣2＝0， 解得，a＝﹣3，b＝2， 即点 A 表示的数是﹣3，点 B 表示的数是 2； （2）① 2x+1＝x/2﹣8 解得，x＝﹣6， ∴BC＝2﹣（﹣6）＝8， 即线段 BC 的长为 8； ② 存在点 P，使 PA+PB＝BC， 设点 P 的表示的数为 m， 则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8， ∴|m+3|+|m﹣2|＝8， 当 m＞2 时，解得，m＝3.5， 当﹣3＜m＜2 时，无解， 当 x＜﹣3 时，m＝﹣4.5， 即点 P 对应的数是 3.5 或﹣4.5． 4.2、分类讨论的思想 分类讨论的思想是指把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干 个小问题来解决，或者有些问题包括多种情况时，要分情况讨论。运用分类讨论思想时要 注意：每一次分类要按照同一标准；分类时要做到不重不漏。 例 3、已知数轴上的 A、B 两点分别对应数字 a、b，且 a、b 满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0 （1）直接写出 a、b 的值； （2）P 从 A 点出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当 PA＝3PB 时， 求 P 运动的时间和 P 表示的数； 解：（1）∵|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0 ∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0， 解得 a＝4，b＝16． 答：a、b 的值为 4、16． （2）设 P 运动的时间为 t1 秒，P 表示的数为 x． 根据题意，得 ① 当 P 点在 A、B 之间时， x﹣4＝3（16﹣x） 解得 x＝13． 3t1＝x﹣4＝13﹣4＝9 ∴t1＝3． ② 当 P 点在 B 点右侧时， x﹣4＝3（x﹣6），解得 x＝22， ∴3t1＝x﹣4＝18，∴t1＝6 答：P 运动的时间为 3 或 6 秒，P 表示的数为 13 或 22． 例 4、超市在元旦期间对顾客优惠，规定如表： 一次性购物 优惠方法 少于 200 元 不予优惠 低于 400 元但不低于 200 元 购买商品全部九折优惠 400 元或超过 400 元 其中 400 元部分给予九折优惠，超过 400 元部分给予八 折优惠 （1）若一次性购物 500 元，实际付款　 　元； （2）如果顾客在该超市一次 性购物 x（其中 x≥200 元）实际付款多少元？（用含 x 的代 数式表示） （3）如果小明两次购物货款共 560 元且第一次购物的货款为 a 元（其中 a＜200），求 两次购物实际付款共多少元？（用含 a 的代数式表示） 解：（1）根据题意得： 购物 400 元的部分实际付款：400×0.9＝360（元）， 购物超过 400 元的部分实际付款：（500﹣400）×0.8＝80（元）， 则若一次性购物 500 元，实际付款：360+80＝440（元）， 故答案为：440， （ 2）根据题意得： 若 200≤ x＜400，实际付款：0.9x（元）， 若 x≥400，实际付款：0.8（x﹣400）+400×0.9＝0.8x+ 40（元）， 答：如果顾客在该超市一次性购物 x（其中 x≥200 元），若 200≤x＜400，实际付款 0.9x 元，若 x≥400，实际付款 0.8x+400 元， （3）根据题意得： 若 0＜a≤160，则 560﹣a≥400，两次购物实际付款：0.8（560﹣a）+400+a＝0.2a+488 （元）， 若 160 ＜ a ＜ 200 ， 则 200 ＜ 560﹣a ＜ 400 ， 两 次 购 物 实 际 付 款 ： 0.9 （ 560﹣a ） +a ＝ 0.1a+494（元）， 答：若 0＜a≤160，两次购物实际付款 0.2a+488 元，若 160＜a＜200，两次购物实际付款 0.1a+494 元． 4.3、特殊与一般的思想 由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一。 数学研究也不例外，这种由特殊到一般，再由一般到特殊研究数学问题的基本认识过 程就是特殊与一般的思想。 例 5、已知方程（2a+1）x＝3ax﹣ 2 有正整数解，求整数 a 的值 解：（2a+1）x＝3ax﹣2， 移项，合并同类项得：（﹣a+1）x＝﹣2， 因为方程有解， 所以（﹣a+1）≠0，即 x＝2/(a-1)， （先解出方程的一般解） 因为方程有正整数解，且 a 取整数， （再根据方程有正整数解，即特殊解，求出 a 的 值） 所以 a﹣1＝1 或 a﹣1＝2， 解得：a＝2 或 a＝3， 答：整数 a 的值为 2 或 3．