2021 年人教版八年级数学上册《12.3 角的平分线的性质》同步优生辅导训练（附答 案） 一．选择题（共 7 小题） 1．如图点 O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠A＝50°，则∠BOC 等于（　　） A．115° B．105° C．125° D．130° 2．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线 BD 平分∠ABC，则 △BCD 的面积为（　　） A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定 3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于 D，DE＝3cm，那么 CE 等于（　　） A． cm B．2cm C．3cm D．4cm 4．如图，点 D 是△ABC 外的一点，BD，CD 分别平分外角∠CBE 与∠BCF，连接 AD 交 BC 于点 O．下列结论一定成立的是（　　） A．DB＝DC B．OA＝OD C．∠BDA＝∠CDA D．∠BAD＝∠CAD 5．如图，四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝3，连接 BD，BD⊥CD，垂足是 D 且∠ADB＝ ∠C，点 P 是边 BC 上的一动点，则 DP 的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6 ． 如 图 ， △ ABC 中 ， ∠ CAB 和 ∠ CBA 的 角 平 分 线 交 于 点 P ， 连 接 PA 、 PB 、 PC ， 若 △PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为 S1、S2、S3，则（　　） A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．无法确定 S1 与（S2+S3）的大小 7．如图，O 是△ABC 内一点，且 O 到三边 AB、BC、CA 的距离 OF＝OD＝OE，若∠BAC ＝70°，则∠BOC 的度数为（　　） A．70° B．120° 二．填空题（共 9 小题） C．125° D．130° 8．如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直．若 AD ＝8，则点 P 到 BC 的距离是 　 　． 9．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，若 BC＝4，DE＝1.6，则 BD 的长为 　 　． 10．如图，已知∠ABC、∠EAC 的角平分线 BP、AP 相交于点 P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足 分别为 M、N．现有四个结论： ①CP 平分∠ACF；②∠BPC＝ S△APC．其中结论正确的为　 ∠BAC；③∠APC＝90°﹣ ∠ABC；④ S△APM+S△CPN ＞ 　．（填写结论的编号） 11．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB 交 AB 于点 E，DF⊥AC 交 AC 于点 F．若 S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则 AC＝　 　． 12．如图点 D 是△ABC 的两外角平分线的交点，下列说法： ①AD＝CD； ②AB＝AC； ③D 到 AB、BC 所在直线的距离相等； @点 D 在∠B 的平分线上； 其中正确的说法的序号是　 　． 13．在△ABC 中，AB＝5，BC＝8，AC＝6，AD 平分∠BAC，则 S△ABD：S△ACD＝　 　． 14．如图，已知在四边形 ABCD 中，∠BCD＝90°，BD 平分∠ABC，AB＝3，BC＝6，CD＝ 4，则四边形 ABCD 的面积是　 　． 15．如图，已知△ABC 的周长是 18，OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC 于 D， 且 OD＝1，△ABC 的面积是　 　． 16．如图，在△ABC 中，CD 是它的角平分线，DE⊥AC 于点 E．若 BC＝6cm，DE＝2cm， 则△BCD 的面积为　 　cm2． 三．解答题（共 5 小题） 17．如图，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，AB＝6，BC＝8，若 S△ABC＝28，求 DE 的长． 18．如图，已知点 D、E、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE＝BF，且△DCE 的面积与 △DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BAC． 19．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，BE ＝FC．求证：BD＝DF． 20．在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，点 D 是线段 BC 上一点，以 AD 为腰在 AD 右边作 等腰△ADE，AD＝AE． （1）如图 1，若 AD 平分∠BAC，且 CD＝1，求 AB 的长度． （2）如图 2，当∠EDC＝∠BAD，连接 BE 交 AC 于点 F，求证：BD＝2CF 21．在△ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与点 B、C 重合），连接 AD． （1）如图 1，当点 D 是 BC 边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　； （2）如图 2，当 AD 是∠BAC 的平分线时，若 AB＝m，AC＝n，求 S△ABD ：S△ACD 的值 （用含 m，n 的代数式表示）； （3）如图 3，AD 平分∠BAC，延长 AD 到 E，使得 AD＝DE，连接 BE，如果 AC＝ 2，AB＝4，S△BDE＝6，求 S△ABC． 参考答案 一．选择题（共 7 小题） 1．解：∵点 O 在△ABC 内，且到三边的距离相等， ∴点 O 为△ABC 的内角平分线的交点， 即 OB 平分∠ABC，OC 平分∠ACB， ∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣ ∠ABC﹣ ∠ACB＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）， 而∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣ （180°﹣∠A） ＝90°+ ∠A ＝90°+ ×50° ＝115°． 故选：A． 2．解：过 D 点作 DE⊥BC 于 E，如图， ∵BD 平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB， ∴DE＝DA＝3， ∴△BCD 的面积＝ ×5×3＝7.5． 故选：B． 3．解：∵BE 平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC， ∴EC＝ED＝3cm． 故选：C． 4．解：过 D 点作 DM⊥AE 于 M，DN⊥AF 于 N，DH⊥BC 于 H，如图， ∵BD，CD 分别平分外角∠CBE 与∠BCF， ∴DH＝DM，DH＝DN， ∴DM＝DN， ∴AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． 故选：D． 5．解：∵BD⊥CD，∠A＝90° ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∠CBD+∠C＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD， 由垂线段最短得，DP⊥BC 时 DP 最小， 此时，DP＝AD＝3． 故选：C． 6．解：过 P 点作 PD⊥AB 于 D，PE⊥AC 于 E，PF⊥BC 于 F，如图， ∵∠CAB 和∠CBA 的角平分线交于点 P， ∴PD＝PE＝PF， ∵S1＝ •AB•PD，S2＝ •BC•PF，S3＝ •AC•PE， ∴S2+S3＝ •（AC+BC）•PD， ∵AB＜AC+BC， ∴S1＜S2+S3． 故选：A． 7．解：∵O 到三边 AB、BC、CA 的距离 OF＝OD＝OE， ∴点 O 是三角形三条角平分线的交点， ∵∠BAC＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ ×110°＝55°， 在△OBC 中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°． 故选：C． 二．填空题（共 9 小题） 8．解：如图所示，过点 P 作 PE⊥BC 于 E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4，即点 P 到 BC 的距离是 4． 故答案为：4． 9．解：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵DE＝1.6， ∴CD＝1.6， ∴BD＝BC﹣CD＝4﹣1.6＝2.4． 故答案为：2.4 10．解：①作 PD⊥AC 于 D． ∵PB 平分∠ABC，PA 平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴点 P 在∠ACF 的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， 故①正确； ②∵PB 平分∠ABC，CP 平分∠ACF， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBF+∠BPC， ∴∠BAC＝2∠BPC， ∴∠BPC＝ ∠BAC，故②正确； ③∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， ∴∠APC＝90°﹣ ∠ABC，故③正确； ④∵PB 平分∠ABC，PC 平分∠ACF， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝ ∠ACF＝∠BPC+ ∠ABC， ∴∠BAC＝2∠BPC， ∴∠BPC＝ ∠BAC，故本小题正确； ∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正确． 综上所述，①②③正确． 故答案为：①②③． 11．解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC， ∴ ×8×4+ ×AC×4＝28， ∴AC＝6． 故答案为 6． 12．解：AD 与 CD 不能确定相等，AB 与 AC 也不能确定相等，所以①②错误； 作 DE⊥BA 于 E，DF⊥BC 于 F，DH⊥AC 于 H，如图， ∵AD 平分∠EAC， ∴DE＝DH， 同理可得 DH＝DF， ∴DE＝DF， 即 D 到 AB、BC 所在直线的距离相等，所以③正确； ∴点 D 在∠B 的平分线上；所以④正确． 故答案为③④． 13．解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F， ∵AD 平分∠BAC， ∴DE＝DF， 设 DE＝DF＝R， ∵S△ABD＝ ＝ R，S△ACD＝ ∴S△ABD：S△ACD＝5：6， 故答案为：5：6． 14．解：过点 D 作 DE⊥BA 的延长线于点 E，如图所示． ＝ ， ∵BD 平分∠ABC， ∴DE＝DC＝4， ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD+S△BCD， ＝ AB•DE+ BC•CD， ＝ ×3×4+ ×6×4， ＝18． 故答案为：18． 15．解：过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 与 F，连接 OA，