专题 1.40 线段的垂直平分线（知识讲解） 【学习目标】 1、会准确说出线段垂直平分线性质定理及其逆定理，并用几何语言表达其性质； 2、能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题； 3、能灵活应用性质定理及判定定理进行相关的解题训练. 【要点梳理】 知识要点一： 线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理 :线段的垂直平分线上的到这条线 段两个端点的距离相等。 ① 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1、P2、P3 是 l 上的点.试说明 P1A= P1B. 证明：∵直线 l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB. 又 CA=CB，P1C= P1C， ∴△P1CA≌△P1CB (SAS). ∴P1A= P1B. 几何语言叙述： ∵直线 l 垂直平分 AB，P 是直线 l 上任意一点; ∴PA=PB. 知识要点二： 线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上. 如图，在△PAB 中，如果 PA=PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线 上？请证明这个结论？ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 证明：作 PC⊥AB，垂足为 C，则∠ACP=∠BCP=90°， 在 Rt△PAC 和 Rt△PBC 中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC. ∴PC 是 AB 的垂直平分线， 即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质的逆定理： 几何语言叙述： ∵PA=PB; ∴ P 点在 AB 的垂直平分线上. 【典型例题】 类型一、垂直平分线的性质 1．如图，△ABC 中，∠A=∠ABC，DE 垂直平分 BC，交 BC 于点 D，交 AC 于 点 E． （1）若 AB=5，BC=8，求△ABE 的周长； （2）若 BE=BA，求∠C 的度数． 【答案】（1）13（2）36° 【分析】 （1）由等边对等角可知 AC=BC=8，由线段垂直平分线的性质可知 CE=BE,进而可求 △ABE 的周长； （2）由 BE=CE 可知∠C=∠CBE，由外角性质可得∠BEA=2∠C，由 BE=BA 可证 ∠A=∠BEA=2∠C，然后利用三角形内角和等于 180°列式求解即可. （1）解：∵△ABC 中，∠A=∠ABC ∴AC=BC=8 ∵DE 垂直平分 BC， EB=EC 又∵AB=5， ∴△ABE 的周长为： AB+AE+EB=AB+(AE+EC)=AB+AC=5+8=13 （2）解：∵EB=EC ∴∠C=∠CBE ∵∠AEB=∠C+∠CBE ∴∠BEA=2∠C ∵BE=BA ∴∠AEB=∠A 又∵AC=BC ∴ ∠CBA=∠A=2∠C ∵ ∠CBA+∠A+∠C=180° ∴5∠C=180° ∴∠C=36° 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角 的性质等知识点.熟练掌握线段垂直平分线的性质是解（1）的关键，利用等腰三角形的判 定与性质和三角形外角的性质得出∠A=2∠C 是解（2）的关键. 【变式 1】 如图，△ABC 中，AB，AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D，E 两点，垂足 分别是 M，N. (1) 若△ADE 的周长是 10，求 BC 的长；(2) 若∠BAC＝100°，求∠DAE 的度数． 【答案】（1）BC＝10.（2）20°. 【分析】 （1）由 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、E，垂足分别是 M、N，根据线段垂 直平分线的性质，可得 AD=BD，AE=EC，继而可得△ADE 的周长等于 BC 的长； （2）由∠BAC=100゜，可求得∠B+∠C 的度数，又由 AD=BD，AE=EC，即可求得 ∠BAD+∠CAE 的度数，继而求得答案． 解：(1)因为 AB，AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D，E 两点，垂足分别是 M，N， 所以 AD＝BD，AE＝CE. 因为△ADE 的周长是 10， 所以 AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC＝10，即 BC＝10. (2)因为∠BAC＝100°， 所以∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝80°. 因为 AD＝BD，AE＝CE， 所以∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C， 所以∠BAD＋∠CAE＝80°，所以∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝100°－ 80°＝20°. 【点拨】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题关 键是注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 【变式 2】 如图所示， ABC 中， D 为 BC 的中点 ED  BC 交 �BAC 的平分线于 1 AF   AB  AC  ． 于 ，求证： E , EF  AC F 2 【分析】连接 EB、EC，过点 E 作 EG  AB 交 AB 延长线于 G，根据线段垂直平分线 求出 BE=CE，根据角平分线性质求出 EF=EG，证出 Rt△BGE≌Rt△CFE 即可得 BG=CF， 求出△AFE≌△AGE，推出 AF=AG，即可得出答案． 证明：连接 EB、EC，过点 E 作 EG  AB 交 AB 延长线于 G， ∵ D 为 BC 的中点 ∴DE 是 BC 的垂直平分线， ∴BE=CE， ∵AE 平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC， ∴∠BGE=∠EFC=90°，EF=EG， 在 Rt△BGE 和 Rt△CFE 中 EG=EF � � BE=CE � ∴Rt△BGE≌Rt△CFE（HL）， ∴BG=CF， ∵AE 平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC， ∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE， 在△AFE 和△AGE 中 �AFE=�AGE � � �FAE=�GAE � �AE=AE � ∴△AFE≌△AGE， ∴AF=AG， ∵BG=CF， 1 1 ∴ 2 （AB+AC）= 2 （AG-BG+AF+CF） 1 = 2 （AF+AF） =AF， 1 即 AF= 2 （AB+AC）． 【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的 应用，能综合运用性质进行推理是解题的关键，题目比较典型，难度适中． 类型二、垂直平分线的判定 2．如图，AB=AC,MB=MC，直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ 【答案】是，理由见分析. 【分析】根据线段的垂直平分线的定义，分别证明 A、M 在线段 BC 的垂直平分线上即 可解决问题． 解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线，理由如下： ∵AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上， ∵MB=MC， ∴点 M 在线段 BC 的垂直平分线上， ∴直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线． 【点拨】本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分 线的判定方法，属于中考常考题型． 举一反三： 【变式 1】如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E， （1）若∠BAC=50°，求∠EDA 的度数； （2）求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线． 【答案】（1）65° （2）证明见分析 【分析】 1 （1）由题意可得∠EAD= 2 ∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角 互余即可求得答案； （2）由于 DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而 AD 平分∠BAC，易知 ∠DAE=∠DAC，又因为 AD=AD，利用 AAS 可证△AED≌△ACD，那么 AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证. 解：（1）∵AD 平分∠BAC，∠BAC=50°， 1 ∴∠EAD= 2 ∠BAC=25°， ∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°， ∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°； （2）∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又 AD 平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， 又∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD， ∴AE=AC，DE=DC ∴点 A 在线段 CE 的垂直平分线上，点 D 在线段 CE 的垂直平分线上， ∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 【点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平 分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键. 【变式 2】 如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C、D．求证：OE 是线段 CD 的垂直平分线. 【分析】证△EDO 和△ECO 全等，推出 OD=OC，根据线段垂直平分线性质得出即可． 证明：∵点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是 C，D， ∴DE=CE，∠EDO=∠ECO=90°， 在 Rt△ODE 与 Rt△OCE 中， OE＝OE � � �DE＝EC ∴Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD=OC， ∵DE=EC， ∴OE 是线段 CD 的垂直平分线． 【点拨】本题主要考查角平分线的性质，线段垂直平分线性质，全等三角形的判定与 性质的应用，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键，难 度适中． 类型三、垂直平分线的应用 3．作图题.如图，小河边有两个村庄 A、B，要在河边建一自来水厂 P，向 A 村 B 村供水． （1）若要使厂部到 A、B 两村的距离相等，则厂部 P 应选在哪里？在图①中画出； （2）若要使厂部到 A、B 两村的输水管长度之和最小，则厂部 P 应选在什么地方？在 图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论） 【分析】 （1）在图①中连接 AB 正确画出 AB 的垂直平分线得，指出 AB 的垂直平分线与河岸 的交点 C 即为厂部 P 的位置； （2）在图②中正确作出点 A 关于河岸的对称点 A'，连接 A'B，指出线段 A'B 与河岸的 交点 P 即为厂部的位置． 解：（1）如图①所示：点 C 即为所求； （2）如图②所示：点 C 即为所求． ． 【点拨】此题主要考查了作图与应用设计，关键是掌握在直线 L 上的同侧有两个点 A、B，在直线 L 上有到 A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出 其中一点关于直线 L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线 L 的交点就是所要找的点． 举一反三： 【变式 1】 如图，两条公路 OA 与 OB 相交于点 O，在∠AOB 的内部有两个小区 C 与 D，现要修建一个市场 P，使市场 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等，且到两个小区 C、D 的距离相等． （1）市场 P 应修建在什么位置？（请用文字加以说明） （2）在图中标出点 P 的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结 论）