专题 1.1 认识三角形-三角形三边关系（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解三角形三边的关系，利用三边关系求边的取值范围。 【知识点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形， 图一 特别说明： （1）三角形的基本元素： ① 三角形的边：即组成三角形的线段； ② 三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③ 三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）构成三角形的三个条件：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示法：如图一，三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C 的三角形 记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写 字母 AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母 a、b、c 来表示，边 BC 用 a 表示，边 AC、AB 分别用 b、c 表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类： 直角三角形 � � 三角形　 锐角三角形 � � 斜三角形　 � � 钝角三角形 � � 特别说明： ① 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;② 钝角三角形：有一个内角为钝角的三角 形. (2)按边分类： 特别说明： ① 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外 一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ② 等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边.任意两边之差小于第三边， 如图：即：a+b>c, a+c>b, b+c>a, 如图二：（1）a  b  c, b  c  a, a  c  b; （2），，。 ab c ac b bc  a 图二 特别说明： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用方法：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之 和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知 三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 【典型例题】 类 型 一 、 三 角 形 的 定 义 及 表 示 1．如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出 CDE 的边和角． （3） AD 是哪些三角形的边？ �C 是哪些三角形的角？ 【答案】（1）图中有： ABD ， ADC ， ADE ， EDC ， ACB ，共 5 个； （2） CDE 的边： CD ， CE ， DE ，角： �C ， �CDE ， �DEC ； （3） AD 是 ADB ， ADE ， ADC 的边； �C 是 ABC ， ADC ， DEC 的 角． 【分析】 （1）分类找三角形，含 AB 的，含 AD（不含 AB）的，含 DE（不含 AD）的三类即可； （2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出； （3）观察图形，找出含 AD 的三角形，先找 AD 左边的，再找 AD 右边的即可，根据 三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C 的内部在线段看与角的 两边是否相交即可 解：（1）图中有：以 AB 为边的三角形有△ABD，△ABC， 以 AD 为边的三角形有△ADE，△ADC， 再以 DE 为边三角形有△DEC， 一共有 5 个三角形分别为 ABD ， ABC ， ADC ， ADE ， EDC ； （2） CDE 的边： CD ， CE ， DE ， 角： �C ， �CDE ， �DEC ； （3） AD 是 ADB ， ADE ， ADC 的边； �C 是 ABC ， ADC ， DEC 的角． 【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图 中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类 思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键． 举一反三： 【变式 1】如图，以点 A、B、C、D、E 中的任意 3 点为顶点的三角形共有几个，请在 图中画出这些三角形. 【答案】9 个，图见分析. 【分析】根据三角形的定义,即不在同一直线上的三点首尾顺次连接即可得到一个三角 形,即可得出答案. 解：以点 A、B、C、D、E 中的任意 3 点为顶点的三角形共有 9 个，分别是： △ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△BCE，△BCD，△DEA，△DEB，△DEC. 如图所示： 【点拨】此题考查了三角形的定义,关键是根据题意画出图形,数出三角形的个数,不要 漏数三角形的个数. 【变式 2】如图,在△ABC 中,D,E 是 BC,AC 上的点,连接 BE,AD,交于点 F,问: （1）图中有多少个三角形?并把它们表示出来. （2）△BDF 的三个顶点是什么?三条边是什么? （3）以 AB 为边的三角形有哪些? （4）以 F 为顶点的三角形有哪些? 解：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可． （1）8 个：△ABC，△ABF，△ABE，△ABD，△BDF，△AEF，△ACD，△BCE； （2）三个顶点：B，D，F；三条边：BD，BF，DF； （3）△ABC，△ABF，△ABD，△ABE； （4）△ABF，△BDF，△AEF． 【点拨】此题主要考查了三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键． 类 型 二 、 三 角 形 的 分 类 2．图①②③均是 3×3 的正方形网格，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形 的顶点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中以 AB 为边画△ABC，要求同时满足下列 3 个条件： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角 三角形； （2）三个图中所画的三角形面积均不相等； （3）点 C 在格点上．（不写画法） 【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可． 解：如图所示：即为符合条件的三角形． 【点拨】本题考查了作图﹣应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格画出符合条 件的三角形． 举一反三： 【变式 1】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形． (1) △ABC 中，∠A＝30°，∠C＝∠B； (2) 三个内角的度数之比为 1:2:3. 【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形． 【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可. 解：(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°， ∴满足条件的三角形是锐角三角形． (2)∵三个内角的度数之比为 1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为 30°，60°，90°， ∴满足条件的三角形是直角三角形． 【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题． 【变式 2】已知 VABC 的三边长分别为 a，b，c．若 a，b，c 满足 ( a  b) 2  (b  c) 2  0 试判断 VABC 的形状． 【答案】 VABC 的形状是等边三角形． 【分析】利用平方数的非负性，求解 a，b，c 的关系，进而判断 VABC ． ， 解：∵ ∴ (a  b) 2  (b  c) 2  0 a b  0 ， ， bc  0 ∴a=b=c， ∴ ABC 是等边三角形． 【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相 等为等边三角形，含 90�的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键． 类 型 三 、 构 成 三 角 形 的 条 件 3.已知：a、b、c 满足 (a  8)2  b  5  | c  3 2 | 0 求： (1) a、b、c 的值； (2) 试问以 a、b、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长； 若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1) a  2 2 ， b  5 ， c  3 2 (2)能构成三角形，周长为  5 1 2  【分析】 （1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形； 然后计算三角形的周长即可．  (1)解：∵ a  8  2 �0 ， b  5 �0 ， c  3 2 �0 ，  a、b、c 满足 a  8 ∴ a 8 0 解得 ， a2 2 2 b5  0 ， b5 (2)解：∵ 8  18  25 ， ∴  2 2 3 2 5 ，  b 5  c 3 2  0 ， ， ， c 3 2  0 c3 2 ； ， 即a  c  b ， ∵ 2 2 3 2  5 2 5 ， ∴能构成三角形， 三角形的周长  abc  2 2 3 2 5  5 2 5  5  ． 2 1 【点拨】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解 题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形． 举一反三： 【变式 1】判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm； （3）5cm、6cm、10cm； 【答案】（1）不能，因为 3cm＋4cm ＜8cm；（2）不能，因为 5cm＋6cm＝11cm； （3）能，因为 5cm＋6cm＞10cm 略 b c 满足 a  2  b  3   c  4   0 ． 【变式 2】 已知 a，， 2 b c 的值． （1）求 a，， b c 为边能否构成三角形，如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说 （2）以 a，， 明理由． 【答案】（1）a=2，b=3，c=4；（2）能，9 【分析】 （1）根据非负数的性质列式求解即可得到 a、b、c 的值； （2）利用三角形的三边关系判断能够组成三角形，然后根据三角形的周长公式列式进 行计算即可得解． 解：（1）根据题意得：a-2=0，b-3=0，c-4=0， 解得：a=2，b=3，c=4； （2）∵2+3>4， 即 a+b＞c， ∴能构成三角形， ∴C△ABC=2+3+4=9． 【点拨】本题考查了绝对值，算术平方根和平