数学模型-倍长中线模型 模型分析：倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判 定过程中，给出中线，通过延长辅助线的方法证明三角形全等及其他，达到 解题的目的． 其主要的图形特征和证明方法如下图： 已知：在三角形 ABC 中，O 为 BC 边中点， 辅助线：延长 AO 到点 D 使 AO=DO， 结论：△AOB≌△DOC 证明：延长 AO 到点 D 使 AO=DO， 由中点可知，OB=OC， 在△AOB 和△DOC 中 OA  OD � � �AOB  �DOC � � OB  OC � ∴△AOB≌△DOC 同理 在 下图中仍能得到△AOB≌△DOC 规律总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用 SAS 的方法，这 是由于作出延长线后出现的对顶角决定的． 补充：关于倍长中线的其他模型 ① 向中线做垂直，易证△BEO≌△CDO 步骤：延长 AO 到点 D，过点 B，C 分别向 AD 作垂线，垂足为 E，D， 易证△BEO≌△CDO(AAS) ② 过中线做任意三角形证明全等，易证△BDO≌△CEO 步骤： 在 AC 上任意选取一点 E，连接 EO 并延长到点 D，使 EO=DO，连接 BD， 易证△BDO≌△CEO(SAS) 实例精练： 1. 如图，在平行四边形 ABCD 中， CD  2 AD  8 ， E 为 AD 上一点， F 为 DC 的 中点，则下列结论中正确的是（ A. BF  4 B. ） �ABC  2�ABF C. ED  BC  EB D. S四边形 DEBC  2 SV EFB 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可以得到 CD  2 AD  2 BC  8 ，且 F 为 DC 的中 点 ， 所 以 CF  BC  4 , 由 此 可 判 断 A 选 项 ； 再 结 合 平 行 线 的 性 质 可 以 得 到 �CFB  �FBA ，由此可判断 B 选项；同时延长 DF  CF , �DFE  �PFC , �D  �FCP 可 以 证 得 EF 和 BC 交于点 VDFE VCFP P ， ， 所 以 ED  BC  CP  BC  BP S四边形DEBC  SV BEP ,由此可以判断 C 选项；由于 ，由此可以判断 D 选项； 【详解】Q 四边形 ABCD 是平行四边形  CD  2 AD  2 BC  8  CF  BC  4 由于条件不足，所以无法证明 BF  4 ,故 A 选项错误； Q CF  BC  4  �CFB  �FBC Q DC ∥ AB  �CFB  �FBC  �FBA  �ABC  2�ABF 故 B 选项错误； 同时延长 EF 和 BC 交于点 P Q AD P BP  �D  �FCP �DF  CF � �DFE  �PFC 在 和 中： � � �D  �FCP  ASA  �  △ DFE VCFP  VDFE VCFP  ED  BC  CP  BC  BP 由于条件不足，并不能证明 BP  BE ，故 C 选项错误； Q VDFE VCFP  S四边形 DEBC  SV BEP VDFE VCFP ，所以 Q F 为 DC 的中点  SV BEP  2 SV BEF  S四边形DEBC 故 D 选项正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出 相应的辅助线是求解本题的关键. 2. 如图， AB PCD，， �BCD  90� AB  1, BC  CD  2, E 为 AD 上的中点，则 BE ＝______． 【答案】 5 2 【解析】 【分析】延长 BE 交 CD 于点 F，证 V ABE≌ V DFE ，则 BE=EF= 1 BF，故再在直角 2 三角形 BCF 中运用勾股定理求出 BF 长即可. 【详解】解：延长 BE 交 CD 于点 F, ∵AB 平行 CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE， 又 E 为 AD 上的中点，∴BE=EF, 所以 V ABE≌ V DFE . BE  EF  ∴ ∴ 1 BF , AB  DF  1 2 CF  1 2 2 在直角三角形 BCF 中，BF= 1  2 = 5 . 1 5 ∴ BE  2 BF  2 . 【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾 股定理求解. 3. 如图， ABC 中， D 为 BC 的中点， E 是 AD 上一点，连接 BE 并延长交 AC 于 F ， BE  AC ，且 BF  9 ， CF  6 ，那么 AF 的长度为__． 3 【答案】 2 ； 【解析】 【 分 析 】 延 长 AD 至 G 使 AD  DG ， 连 接 BG ， 得 出 ACD  GBD , 得 出 AC  BG  BE ，所以得出 AEF 是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系 计算． 【详解】 如图：延长 AD 至 G 使 AD  DG ，连接 BG 在 ACD 和 GBD 中： CD  BD � � �ADC  �BDG � �AD  DG � ∴ ∴ ACD  GBD �CAD  �G , AC  BG ∵ ∴ ∴ ∵ BE  AC BE  BG �G  �BEG �BEG  �AEF ∴ �AEF  �EAF ∴ EF  AF ∴ AF  CF  BF  EF 即 AF  6  9  EF ∴ AF  3 2 【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键． 4. 如图，平行四边形 ABCD 中， CE  AD 于 E ，点 F 为边 AB 中点， �CEF  40� �AFE  _________ ，则 【答案】 30� 【解析】 AD  1 CD ， 2 【 分 析 】 延 长 EF 、 CB 交 于 点 G ， 连 接 FC ， 先 依 据 全 等 的 判 定 和 性 质 得 到 FE  FG ，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 FC  FE  FG ， 依据平行四边形的对边相等及等量代换得到 BF  BC ，依据三角形等边对等角得 到 �FCG  �G  50�、 �BFC  �FCG  50�，依据三角形内角和得到 �GFC ，通 过作差即得所求. 【详解】解：延长 EF 、 CB 交于点 G ，连接 FC， ∵平行四边形 ABCD 中， AD //BC ∴ ∴ ， AB  CD AD  BC �A  �GBF , �AFE  �BFG ， 又∵点 F 为边 AB 中点，得 ∴ ∴ ∴ △ AFE ≌ FE  FG VBFG (ASA)， ， FC  FE  FG ， , ， �GCE  CED  90� AF  BF  , 1 AB , 2 �G  90� �CEF  50� ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ �FCG  �G  50� , �GFC  180� �FCG  �G  80� , BF  1 1 AB AD  CD , , AB  CD , AD  BC , 2 2 BF  BC , �BFC  �FCG  50� , �BFG  �GFC  �BFC  30� , �AFE  �BFG  30� , 故答案为： 30�. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等的判定和性质、直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半、三角形等边对等角、三角形内角和，解题的关键是构造直角 三角形. 5. 已知：如图所示，AD 平分 �BAC ，M 是 BC 的中点，MF//AD，分别交 CA 延长 线，AB 于 F、E． 求证：BE=CF． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】过 B 作 BN∥AC 交 EM 延长线于 N 点，易证△BMN≌△CMF，可得 CF＝ BN，然后由 MF//AD，AD 平分∠BAC 可得∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM，∠BEM ＝∠N，所以 BE＝BN＝CF. 【详解】证明：过 B 作 BN∥AC 交 EM 延长线于 N 点， ∵BN∥AC，BM＝CM， ∴∠BMN＝∠CMF，∠N＝∠F， ∴△BMN≌△CMF， ∴CF＝BN， 又∵MF//AD，AD 平分∠BAC， ∴∠F＝∠DAC=∠BAD＝∠BEM， ∴∠BEM＝∠N， ∴BE＝BN＝CF. 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等 知识，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 6. 如图所示，在 ABC 中， AD 交 BC 于点 D ，点 E 是 BC 中点， EF ∥ AD 交 CA 的延长线于点 F ，交 AB 于点 G ，若 BG  CF ，求证： AD 为 �BAC 的平分线. 【答案】见解析 【解析】 【 分 析 】 延 长 FE ， 截 取 EH=EG ， 连 接 CH ， 可 证 △ BEG≌△CEH ， 即 可 求 得 ∠F=∠FGA，即可求得∠CAD=∠BAD，即可解题． 【 详 解 】 证 明 ： 延 长 FE ， 截 取 EH=EG ， 连 接 CH ， ∵E 是 BC 中 点 ， ∴BE=CE ， ∴∠BEG=∠CEH ， 在△BEG 和△CEH 中， �BE＝CE � �BEG＝�CEH ， � � GE＝EH � ∴△BEG≌△CEH（SAS）， ∴∠BGE=∠H， ∴∠BGE=∠FGA=∠H， ∴BG=CH， ∵CF=BG， ∴CH=CF， ∴∠F=∠H=∠FGA， ∵EF∥AD， ∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠FGA， ∴∠CAD=∠BAD， ∴AD 平分∠BAC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本 题中求证△BEG≌△CEH 是解题的关键． 7. 已知：如图所示，在 BE  AC ，求证： ABC AF  EF 中， AD 为中线， BF 交 AD, AC 分别于 E, F ，如果 ． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据点