专题 05 一元二次方程 一．选择题（共 10 小题） 1．（2021•黄州区校级自主招生）关于 x 的方程 x2﹣bx+4＝0 有两个相等的正实数根，则 b 的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣4 或 4 D．0 2．（2020•江岸区校级自主招生）若 a+b+c＝0，4a﹣2b+c＝0，则关于 x 的一元二次方程 a（x﹣1）2+bx＝b﹣c 的解为（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝﹣1 或 x＝2 D．x＝﹣2 或 x＝0 3．（2020•涪城区校级自主招生）若 m 是关于 x 的方程 x2﹣2020x+1＝0 的根，则（m2﹣ 2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）的值为（　　） A．18 B．﹣18 C．20 D．﹣20 4．（2020•赫山区校级自主招生）准备在一块长为 30m，宽为 24m 的长方形花圃内修建四 条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形， 且边长是小路宽度的 4 倍，若四条小路所占面积为 80m2，则小路的宽度为（　　） A．1m B． m C．2m D． m 5．（2020•赫山区校级自主招生）已知 xy≠1，且有 5x2+2019x+9＝0，9y2+2019y+5＝0，则 的值等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 6．（2019•锦江区校级自主招生）设关于 x 的方程 ax2+（a+2）x+9a＝0，有两个不相等的 实数根 x1、x2，且 x1＜1＜x2，那么实数 a 的取值范围是（　　） A． B． C． 7．（2020•浙江自主招生）下列给出的 4 个命题： D． 命题 1 若|a|＝|b|，则 a|a|＝b|b|； 命题 2 若 a2﹣5a+5＝0，则 ； 命题 3 若 x 的不等式（m+3）x＞1 的解集是 x＜ ，则 m＜﹣3； 命题 4 若方程 x2+mx﹣1＝0 中 m＞0，则该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大． 其中正确的命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2019•武侯区校级自主招生）若 M＝5x2﹣12xy+10y2﹣6x﹣4y+13（x、y 为实数），则 M 的值一定是（　　） A．非负数 B．负数 C．正数 D．零 9．（2019•顺庆区校级自主招生）设 a，b 是方程 x2+20x+1＝0 的两个根，c，d 是方程 x2﹣ 17x+1＝0 的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为（　　） A．﹣2017 B．0 C．340 D．﹣111 10．（2019•顺庆区校级自主招生）设 x1、x2 是一元二次方程 x2+x﹣3＝0 的两根，则 x13﹣ 4x22+15 等于（　　） A．﹣4 B．8 C．6 D．0 二．填空题（共 6 小题） 11．（2021•黄州区校级自主招生）方程 x2+mx﹣1 ＝0 的两根为 x1，x2 ，且 ， 则 m＝　 　． 12．（2020•涪城区校级自主招生）已知关于 x 的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围　 x﹣1＝ 　． 13．（2020•赫山区校级自主招生）已知 x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则 x2﹣6xy+9y2＝　 　． 14．（2020•原阳县校级自主招生）已知关于 x 的一元二次方程（b﹣c）x2+（c﹣a）x+（a ﹣b）＝0 有两个相等的实数根，则实数 a，b，c 之间的关系是　 　． 15．（2018•苍南县校级自主招生）设 x1、x2 是方程 x2﹣6x+a＝0 的两个根，以 x1、x2 为两 边长的等腰三角形只可以画出一个，则实数 a 的取值范围是　 　． 16．（2019•宝山区校级自主招生）设方程（x+1）（x+11）+（x+11）（x+21）+（x+1） （x+21）＝0 的两根为 x1，x2，则（x1+1）（x2+1）＝　 　． 三．解答题（共 8 小题） 17．（2021•江汉区校级自主招生）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0 有 实数根． （ⅰ）求实数 k 的取值范围； （ⅱ）当 k＝2 时，方程的根为 x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值． 18．（2021•大渡口区自主招生）某小微企业在网上销售 A、B 两种品牌木制休闲用品．今 年 2 月，一共销售 A、B 两种品牌木制休闲用品共 450 件，其中 A 品牌木制休闲用品每 件售价 20 元，B 品牌木制休闲用品每件售价 30 元，2 月全部售完这些木制休闲用品， 所得总销售额不低于 11500 元． （1）A 品牌木制休闲用品最多销售多少件？ （2）为了促进销量，今年 3 月，该店开展了优惠活动，A 品牌木制休闲用品的售价比 2 月的价格优惠 a%，B 品牌木制休闲用品的售价比 2 月的价格优惠 a%，结果 3 月售出 的 A 品牌木制休闲用品数量比 2 月总销售额最低时售出的 A 品牌木制休闲用品数量增加 了 a%，售出的 B 品牌木制休闲用品数量比 2 月总销售额最低时售出的 B 品牌木制休闲 用品数量增加了 a%，结果 3 月的总销售额比 2 月最低销售额增加了 a%，求 a 的值． 19．（2019•锦江区校级自主招生）设 m 是不小于﹣1 的实数，关于 x 的方程 x2+2（m﹣ 2）x+m2﹣3m+3＝0 有两个不相等的实数根 x1、x2， （1）若 x12+x22＝6，求 m 值； （2）求 的最大值． 20．（2020•涪城区校级自主招生）关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0 有两个 不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）若 m 为不大于 1 的整数，且方程的根为整数，求满足条件的 m 的值及对应的方程 的根． 21．（2020•涪城区校级自主招生）已知关于 x 的一元二次方程 2x2﹣2x+3m﹣1 ＝0 的两个 实数根是 x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＞﹣3，求 m 的取值范围． 22．（2020•南岸区自主招生）在疫情期间，某地推出线上名师公益大课堂，为广大师生、 其他社会人士提供线上专业知识学习、心理健康疏导．参与学习第一批公益课的人数达 到 2 万人，因该公益课社会反响良好，参与学习第三批公益课的人数达到 2.42 万人．参 与学习第二批、第三批公益课的人数的增长率相同． （1）求这个增长率； （2）据大数据统计，参与学习第三批公益课的人数中，师生人数在参与学习第二批公 益课的师生人数的基础上增加了 80%；但因为已经部分复工，其他社会人士的人数在参 与学习第二批公益课的其他社会人士人数的基础上减少了 60%．求参与学习第三批公益 课的师生人数． 23．（2020•田家庵区校级自主招生）解关于 x 的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2 ﹣1）x． 24．（2020•赫山区校级自主招生）等腰△ABC 的直角边 AB＝BC＝10cm，点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，均以 1cm/秒的相同速度作直线运动，已知 P 沿射线 AB 运动，Q 沿 边 BC 的延长线运动，PQ 与直线 AC 相交于点 D．设 P 点运动时间为 t，△PCQ 的面积 为 S． （1）求出 S 关于 t 的函数关系式； （2）当点 P 运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？ （3）作 PE⊥AC 于点 E，当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度是否改变？证明你的结论． 专题 05 一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．【解答】解：∵关于 x 的方程 x2+bx+4＝0 有两个相等的正实数根， ∴Δ＝b2﹣4×1×4＝b2﹣16＝0， 解得：b＝4． 故选：A． 2．【解答】解：∵a+b+c＝0 且 4a﹣2b+c＝0， ∴在方程 a（x﹣1）2+bx＝b﹣c 中，当 x＝2 时，a+2b＝b﹣c，即 a+b+c＝0， 当 x＝﹣1 时，4a﹣b＝b﹣c，即 4a﹣2b+c＝0， ∴方程的解为 x＝﹣1 或 x＝2， 故选：C． 3．【解答】解：∵m 是关于 x 的方程 x2﹣2020x+1＝0 的根， ∴m2﹣2020m+1＝0， ∴m2﹣2020m＝﹣1， ∴（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）＝（﹣1+4）×（﹣1﹣5）＝﹣18． 故选：B． 4．【解答】解：设小路的宽度为 xm，则四条小路的长为（30+4x+24+4x）m， 依题意，得：x（30+4x+24+4x）＝80， 整理，得：4x2+27x﹣40＝0， 解得：x1＝ ，x2＝﹣8（不合题意，舍去）． 故选：B． 5．【解答】解：∵9y2+2019y+5＝0， ∴5×（ ）2+2019× +9＝0． ∴x、 是关于 x 的方程 5x2+2019x+9＝0 的两根， ∴ ＝ ． 故选：B． 6．【解答】解：方法 1、∵方程有两个不相等的实数根， 则 a≠0 且 Δ＞0， 由（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0， 解得﹣ ＜a＜ ， ∵x1+x2＝﹣ ，x1x2＝9， 又∵x1＜1＜x2， ∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0， 那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0， 即 9+ +1＜0， 解得 ＜a＜0， 最后 a 的取值范围为： ＜a＜0． 故选 D． 方法 2、由题意知，a≠0，令 y＝ax2+（a+2）x+9a， 由于方程的两根一个大于 1，一个小于 1， ∴抛物线与 x 轴的交点分别在 1 两侧， 当 a＞0 时，x＝1 时，y＜0， ∴a+（a+2）+9a＜0， ∴a＜﹣ （不符合题意，舍去）， 当 a＜0 时，x＝1 时，y＞0， ∴a+（a+2）+9a＞0， ∴a＞﹣ ∴﹣ ， ＜a＜0， 故选：D． 7．【解答】解：命题 1、当 a＝﹣1，b＝1 时，a|a|≠b|b|；故本选项错误； 命题 2、原方程的解是 a＝ ① 当 a＝ 当 a＝ 时，1﹣a＝﹣ 时，1﹣a＝ ． ＜0，所以 ＜0，所以 ； ； 故本选项正确； 命题 3、若 x 的不等式（m+3）x＞1 的解集是 x＜ ，则 m+3＜0，即 m＜﹣3，故本选 项正确； 命题 4、∵x1•x2＝﹣1＜0， ∴方程 x2+mx﹣1＝0 中 m＞0，则该方程有一正根和一负根； ∵x1+x2＝﹣m，且 m＞0， ∴﹣m＜0，即 x1+x2＜0； ∴该方程有一正根和一负根，且负根的绝对值较大． 故该选项正确； 综上所述，命题 2、3、4 正确，共 3 个． 故选：C． 8