专题 3.35 圆的综合题-圆与函数（专项练习） ◆中考动态 纵观近几年各省市中考题中，圆的综合题是必考题型,主要体现在圆与全等三角形、相 似三角形、三角函数的综合，有的设置两个小问,有的设置三个小问,类型比较多,难度比较 大。 ◆知识点 圆的综合题涉及到的知识点比较多,主要有圆的基本性质、圆心角定理、圆周角定理及 其推论、垂径定理及其推论、圆内接三角形的性质、圆内接四边形的性质、三角形内切圆 及三角形内心的概念、全等三角形的判定定理及性质定理、相似三角形的判定定理及性质 定理、勾股定理及其逆定理、切线的判定定理及性质定理。 ◆解题策略及方法 虽然圆的综合题难度比较大,但是,只要我们熟记圆的各个性质和判定定理,还有辅助线 的各种作法,这类题是可以突破的圆作为一个载体,常与三角形、四边形结合,考查切线的性 质及判定、相似三角形的性质及判定、解直角三角形、求线段长或图形面积等 .解题需要先 分析题干中的条件,然后从图形中挖掘出隐含条件 常用方法:① 利用垂径定理,通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形,运用勾股 定理或锐角三角函数进行计算: ② 利用圆周角相等转移角的等量关系; ③ 利用直径构造直角三角形; ④ 发现并构造相似,利用全等和相似、锐角三角函数、勾股定理进行证明和计算; ⑤ 在计算面积时,可以利用面积的和差进行。 1．在△ABC 中，∠BAC=90°，，AB=AC= 2 √2 ，圆的半径为 1，如图所示，若点 O 在 BC 边上运动（与点 B、C 不重合），设 OB=x，△AOC 的面积为 y. （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）以点 O 为圆心，BO 长为半径作圆，求当圆 O 与圆 A 相切时，△AOC 的面积. 2．如图，直线 经过点 A（4，0），B（0，3）． （1）求直线 的函数表达式； （2）若圆 M 的半径为 2，圆心 M 在 轴上，当圆 M 与直线 相切时，求点 M 的坐标． 3．已知 y 是关于 x 的函数，且 x，y 满足方程组 {xx  3y y3a4 a . （1）求函数 y 的表达式； （2）若点 P 的坐标为（m,0），求以 P 为圆心、1 为半径的圆与函数 y 的图象有交点时，m 的取值范围. 4．如图，己知在△ABC 中，AB=AC，tanB= 1 =4，点 E 是在线段 BA 延长线上一点， 2 ，BC 以点 E 为圆心，EC 为半径的圆交射线 BC 于点 C、F（点 C、F 不重合），射线 EF 与射线 AC 交于点 P. （1）求证：AE2=AP·AC； （2）当点 F 在线段 BC 上，设 CF=x，△PFC 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式及定义 域； （3）当 FP 1  时，求 BE 的长. EF 2 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（a，b）在第一象限．以 P 为圆心的圆经过原点， 与 y 轴的另一个交点为 A．点 Q 是线段 OA 上的点（不与 O，A 重合），过点 Q 作 PQ 的垂 线交⊙P 于点 B（m，n），其中 m≥0． （1）若 b=5，则点 A 坐标是 ； （2）在（1）的条件下，若 OQ=8，求线段 BQ 的长； （3）若点 P 在函数 y=x2（x＞0）的图象上，△BQP 是等腰三角形且 PQ= 求出点 B 的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y  1 2 1 x  x  1 与 轴交于 ， 两点（点 在 x 2 2 A B A 点 B 的左侧），经过点 B 的直线 l 与 y 轴交于点 C ，与抛物线的另一个交点为 D ，且 CD  3BC . （1）求点 B 的坐标及直线 l 的函数表达式； （2）点 E 在 y 轴正半轴上，且 ED  EC ，求 OE 的长； （3）点 F 是抛物线上第一象限内的一点，以 F 为圆心的圆与直线 l 相切，切点为 G ，且以 点 D 、 F 、 G 为顶点的三角形与 BOC 相似，求点 F 的坐标. k2 7．如图，已知一次函数 y  k1 x  b 的图象与反比例函数 y  x 的图象交于点 A  4, m  ，且 k2 与 y 轴交于点 ；点 C 在反比例函数 y  x 的图象上，以点 C 为圆心，半径为 的作圆 C 2 B 与 x 轴， y 轴分别相切于点 D 、 B ． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）请连结 OA ，并求出 AOB 的面积； k2 （3）直接写出当 x  0 时， k1 x  b  x  0 的解集． 8．木匠黄师傅用长 AB  3 ，宽 BC  2 的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了如 图 1 三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线 AC 将矩形 ABCD 锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形 BCEF 拼到矩形 AFED 下面，且所拼成的图形为轴对称图形，利用 拼成的木板锯一个尽可能大的圆. （1）求出方案一、方案二中圆的半径. （2）在方案三中，设 CE  x  0  x  1 y ，圆的半径为 . ① 求 y 关于 x 的函数解析式； ② 当 x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？ （3）说明三种方案中哪一个圆形桌面的面积最大. 9．如图，已知 Rt△ABC 中，∠A＝30°，AC＝6．边长为 4 的等边△DEF 沿射线 AC 运动 （A、D、E、C 四点共线）.当等边△DEF 的边 DF、EF 与 Rt△ABC 的边 AB 分别相交于点 M、N（M、N 不与 A、B 重合）时， 设 AD=x． （1）则△FMN 的形状是_______,△ADM 的形状是_______； （2）△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出的取值范围； （3）若以点 M 为圆心，MN 为半径的圆与边 AC、EF 同时相切，求此时 MN 的长． 10．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点 E 与点 B 在 AC 的同侧，且 AE⊥AC． （1）如图 1，点 E 不与点 A 重合，连结 CE 交 AB 于点 P．设 AE=x，AP=y，求 y 关于 x 的 函数解析式； （2）是否存在点 E，使△PAE 与△ABC 相似，若存在，求 AE 的长；若不存在，说明理由； （3）如图 2，过点 B 作 BD⊥AE，垂足为 D．将以点 E 为圆心，ED 为半径的圆记为⊙E． 若点 C 到⊙E 上点的距离的最小值为 8，求⊙E 的半径． 11．如图①，在矩形 ABCD 中，BC＝60cm．动点 P 以 6cm/s 的速度在矩形 ABCD 的边上沿 A→D 的方向匀速运动，动点 Q 在矩形 ABCD 的边上沿 A→B→C 的方向匀速运动．P、Q 两 点同时出发，当点 P 到达终点 D 时，点 Q 立即停止运动．设运动的时间为 t(s)，△PDQ 的 面积为 S(cm2)，S 与 t 的函数图象如图②所示． （1）AB＝　 　cm，点 Q 的运动速度为　 　cm/s； （2）在点 P、Q 出发的同时，点 O 也从 CD 的中点出发，以 4cm/s 的速度沿 CD 的垂直平 分线向左匀速运动，以点 O 为圆心的⊙O 始终与边 AD、BC 相切，当点 P 到达终点 D 时， 运动同时停止． ① 当点 O 在 QD 上时，求 t 的值； ② 当 PQ 与⊙O 有公共点时，求 t 的取值范围． k 12． 如图，一次函数 y=2x 与反比例函数 y= (k＞0)的图象交于 A、B 两点，点 P 在以 C(x 2，0)为圆心，1 为半径的圆上，Q 是 AP 的中点 （1）若 AO= 5 ，求 k 的值； 3 （2）若 OQ 长的最大值为 2 ，求 k 的值； （3）若过点 C 的二次函数 y=ax2+bx+c 同时满足以下两个条件：① a+b+c=0；②当 a≤x≤a+1 时，函数 y 的最大值为 4a，求二次项系数 a 的值． 13．如图所示，菱形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，点 A 在点 B 的左侧，点 D 在 y 轴的正半 轴上，∠BAD＝60°，点 A 的坐标为（﹣2，0）． （1）求线段 AD 所在直线的函数表达式； （2）动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，按照 A⇒D⇒C⇒B⇒A 的顺序在菱形 的边上匀速运动一周，设运动时间为 t 秒、求 t 为何值时，以点 P 为圆心、以 1 为半径的圆 与对角线 AC 相切． 14．定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为 直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点． （1）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，以点 A(0, - 3) 为圆心，5 为半径作圆 A ，交 x 轴的负半轴于点 B ，求过点 B 的圆 A 的切线的解析式； （2）若抛物线 y  ax 2 （ a �0 ）与直线 y  kx  b  2, 2  （ k �0 ）相切于点 ，求直线的解析 式； （3）若函数 y  m 1 2 x   n  k  1 x  m  k  2 的图象与直线 y   x 相切，且当 1 �n �2 时， 4 k k 的最小值为 ，求 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中， �ACB  90�， OC  2OB ， AC  2 BC ，点 B 的坐标为 (1, 0) ，抛物线 y   x 2  bx  c 经过 A，B 两点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）P 是直线 AB 上方抛物线上的一点，过点 P 作 PD  x 轴于点 D，交线段 AB 于点 E， 使 PE 最大． ① 求点 P 的坐标和 PE 的最大值． ② 在直线 PD 上是否存在点 M，使点 M 在以 AB 为直径的圆上？若存在，求出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由． 16．如图，已知 �MON  90�， OT 是 �MON 的平分线， A 是射线 OM 上一点， OA  8cm ． 动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 Q 从点 O 出发，也以1cm/s 的速度沿 ON 竖直向上作匀速运动．连接 PQ ，交 OT 于点 B ．经过 O 、 P 、 Q 三点作圆，交 OT 于点 C ，连接 PC 、 QC ．设运动时间为 x （1）求证： △ PCQ 是等腰直角三角形