专题 3.31 圆中的几何模型--隐形圆专题（专项练习） 一、单选题 1．如图，在等腰 Rt∆ABC 中， AC  BC  4 2 ，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点.当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是（ A． 2 2  4 B．2  C． 4 2 2 D．4 ）  2．如图，在 Rt ABC 中， �ACB  Rt �， AC  8 cm， BC  3 cm． D 是 BC 边上的一个动点， 连接 AD ，过点 C 作 CE  AD 于 E ，连接 BE ，在点 D 变化的过程中，线段 BE 的最小值是 （ ） A．1 B． 3 C．2 D． 3．如图， VABC 是等腰直角三角形，正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 延长 BD BG  交 CF 于 G，以下结论中：① 8 10 5 ，正确的有（ ） BD  CF ；② BD  CF ；③当 5   0�   90�  AB  4 ，再 ， AD  2 时， A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．都不对 4．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD 是中线，点 E、F 同时从点 D 出发，以相同的速度分别沿 DC、DB 方向移动，当点 E 到达点 C 时，运动停止，直线 AE 分别与 CF、BC 相交于 G、H，则在点 E、F 移动过程中，点 G 移动路线的长度为（ ） A．2 B．π C．2π 2 D． 2 π 5．如图，△ACB 中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点 P 为 CA 上的动点，连 BP，过点 A 作 AM⊥BP 于 M．当点 P 从点 C 运动到点 A 时，线段 BM 的中点 N 运动的路径长为（ 2 A． 2 π 二、填空题 B． 2 π C． 3 π D．2π ） 6．如图，在平面直角坐标系中，有一条长为 10 的线段 AB，其端点 A、点 B 分别在 y 轴、 1 x 轴上滑动，点 C 为以 AB 为直径的⊙D 上一点（C 始终在第一象限），且 tan∠BAC= 2 ． 则当点 A 从 A0（0，10）滑动到 O（0，0），B 从 O（0，0）滑动到 B0（10，0）的过程中， 点 C 运动的路径长为_____． 7．如图，扇形 AOB，且 OB=4，∠AOB=90°，C 为弧 AB 上任意一点，过 C 点作 CD⊥OB 于点 D，设△ODC 的内心为 E，连接 OE、CE，当点 C 从点 B 运动到点 A 时，内心 E 所经 过的路径长为 ________． 8．如图， e M 的半径为 4，圆心 M 的坐标为 (5,12) ，点 P 是 e M 上的任意一点， PA  PB ， 且 PA 、 PB 与 x 轴分别交于 A 、 B 两点，若点 A 、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为 __． 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D 是 BC 上一动点，连接 AD， 过点 C 作 CE⊥AD 于 E，过点 E 作 EF⊥AB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是 ____________ ______． 10．如图，在等腰 Rt△ABC 中，AC=BC= 2 ，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点，当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长是___． 11．如图，△ABC 为等边三角形，AB＝2，若 P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB＝ ∠ACP，则点 P 运动的路径长为_________． 12．如图，在矩形 ABCD 中， AB  2 ， BC  3 ， E 是矩形内部的一个动点，且 AE  BE ， 则线段 CE 的最小值为______． 13．如图，正方形 ABCD，边长为 4，点 P 和点 Q 在正方形的边上运动，且 PQ＝4，若点 P 从点 B 出发沿 B→C→D→A 的路线向点 A 运动，到点 A 停止运动；点 Q 从点 A 出发，沿 A→B→C→D 的路线向点 D 运动，到达点 D 停止运动．它们同时出发，且运动速度相同， 则在运动过程中 PQ 的中点 O 所经过的路径长为_____． 14．△ABC 中，AB＝4，AC＝2，以 BC 为边在△ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则线段 AO 的最大值为______． 15．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点 P 是 BC 边上的动点，过点 c 作直线记的垂线，垂足为 Q，当点 P 从点 C 运动到点 B 时，点 Q 的运动路径长为_______． 16．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，BC=12，以 D 为圆心，4 为半径作⊙D，E 为⊙D 上一动 1 点，连接 AE，以 AE 为直角边作 Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF= 3 ，则点 F 与点 C 的 最小距离为________． 三、解答题 17．如图，正方形 ABCD 中，AB= 2 5 ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点， OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，连接 AE，CF． （1）求证：AE=CF； （2）若 A，E，O 三点共线，连接 OF，求线段 OF 的长． （3）求线段 OF 长的最小值． 18．如图，四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点） 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB； ⑵ ① 当 M 点在何处时，AM＋CM 的值最小； ② 当 M 点在何处时，AM＋BM＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当 AM＋BM＋CM 的最小值为 3 1 时，求正方形的边长. 19．如图， AB 是 e O 的直径， AB  4 ，点 C 为 e O 上一点， �ABC  60�，点 P 为 e O 上 一动点，点 D 是 AP 的中点，求 CD 的最小值． 20．在平面直角坐标系中， YOABC 如图所示， A(5, 0) ， B(9, 6) ．点 P 从点 O 出发在线段 OA 上以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发在线段 BC 上以每秒 2 个单 位的速度向点 C 运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接 PQ ． （1）如图 1，连接 OB 交 PQ 于点 D，则点 D 的坐标为________； （2）如图 2，过 A 作 AH  PQ 于点 H，求 OH 的最小值； （3）如图 3，在 PQ 上取一点 M，使得 �AMP  45�，那么点 M 的纵坐标是否存在最大值， 若存在，求出此时 OP 的长；若不存在，说明理由． 21．在平行四边形 ABCD 中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点 E 为线段 BC 上的一点，连接 DE，以线段 DE 为直角边构造等腰 Rt V DEF，EF 交线段 AB 于点 G，连接 AF、DG． （1）如图 1，若 AB＝12 2 ，BE＝5，则 DE 的长为多少？ （2）如图 2，若点 H，K 分别为线段 BG，DE 的中点，连接 HK，求证：AG＝2HK； （3）如图 3，在（2）的条件下，若 BE＝2，BG＝2 2 ，以点 G 为圆心，AG 为半径作 ⊙G，点 M 为⊙G 上一点，连接 MK，取 MK 的中点 P，连接 AP，请直接写出线段 AP 的取 值范围． 22．问题发现： （1）正方形 ABCD 和正方形 AEFG 如图①放置，AB＝4，AE＝2.5，则 DG ＝___________． CF 问题探究： （2）如图②，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 P 在矩形的内部，∠BPC＝135°，求 AP 长的最小值． 问题拓展： （3）如图③，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC、BD，已知 AB＝6，AC＝CD，∠ACD ＝90°，∠ACB＝45°，则对角线 BD 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请 说明理由． 23．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4、点 P 是 AB 边上的一个动点，连接 CP，过点 P 作 PC 的垂线交 AD 于点 E，以 PE 为边作正方形 PEFG、顶点 G 在线段 PC 上，对角线 EG、PF 相交于点 O． （1）若 AP＝1，则 AE＝　 ； （2）①点 O 与△APE 的位置关系是　 　，并说明理由； ② 当点 P 从点 A 运动到点 B 时，点 O 也随之运动，求点 O 经过的路径长； （3）在点 P 从点 A 到点 B 的运动过程中，线段 AE 的大小也在改变，当 AP＝　 ，AE 达到最大值，最大值是　 ． 24． VABC 中， AC  BC ， �C  90�， CD  AB 于 D ，点 E 在线段 BD 上，点 F 在射线 CA 上，连 CE ， （1）如图 1，若 DF ，满足 DF  2 3 �ADF  �ECB ， AC  4 ，求 ． AF 的长； （2）如图 2，若 AF  BE ，求证： BC  2 DE ； DE � （3）如图 3，将 △ CDE 绕点 D 逆时针旋转  （ 0�  �360�）得到 △ C � ，连 CE � ，点 P 为 EB  4 3  4 �DCE  30� CE � BP BP 的中点，连接 ，若 ， ．当 最小时，直接写出 VBCP 的面积． 参考答案 1．B 分析：取 AB 的中点 O、AC 的中点 E、BC 的中点 F，连结 OC、OP、OM、OE、OF、EF， 1 1 如图，利用等腰直角三角形的性质得到 AB= 2 BC=8，则 OC= 2 AB=4，OP= 2 AB=4，再 根据等腰三角形的性质得 OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点 M 在以 OC 为直径的圆上，由于点 P 点在 A 点时，M 点在 E 点；点 P 点在 B 点时，M 点在 F 点， 则利用四边形 CEOF 为正方得到 EF=OC=4，所以 M 点的路径为以 EF 为直径的半圆，然后 根据圆的周长公式计算点 M 运动的路径长． 详解：取 AB 的中点 O、AC 的中点 E、BC 的中点 F，连结 OC