专题 26 与圆有关的等腰三角形的存在性问题 【知识讲解】 1、与圆有关知识内容： 在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。相关点主要有： （1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件； （2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形 2、解题思路： 与模块一类似； （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）； （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 【例题讲解】 4 1、如图，在 Rt ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 8，tan B = 3 ，点 P 是线段 AB 上的一个动点，以点 P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线 AC 的另一个交点为 D，射线 PD 交射线 BC 于点 E，点 Q 是线段 BE 的中 点． （1）当点 E 在 BC 的延长线上时，设 PA＝x，CE＝y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （2）以点 Q 为圆心，QB 为半径的⊙Q 和⊙P 相切时，求⊙P 的半径； （3）射线 PQ 与⊙P 相交于点 M，联结 PC、MC，当△PMC 是等腰三角形时，求 AP 的长． B P A Q C D E 6 5 35 【答案】（1） y  6  5 x ，（ 0  x  5 ）；（2）⊙P 的半径为 3 或 6 ； 40 80 （3）AP 的长为 13 或 13 或 5 或 8． 【解析】解：（1）∵AP = PD，∴ �PAD  �PDA ， ∴ �PBE  �PEB ，∴PE = PB = 10  x ， 3 3 6 ∵ DCE∽ ACB ，∴ CE  DE   10  2 x   6  x ， 5 5 5 6 ∴ y  6  x （ 0  x  5 ）； 5 4 3 （2）可以求出， PQ  8  5 x ，PA = x， BQ  6  5 x ． ∴外切时， 8  内切时， 8 4 3 5 x  x  6  x ，解得： x  ， 5 5 3 4 � 3 � 35 x  x� 6  x� x 5 � 5 �，解得： 6 ， 5 35 综上所述，⊙P 的半径为 3 或 6 ； 2 2 2 2 �3 � � 4 � �3 � � 4 � PC  � x � � 8  x � MC  � x � � 8  x  x� （3） PM  x ， ， �5 � � 5 � �5 � � 5 �， 分情况讨论： 1 PM = PC 时，解得： x  5 （此时 E 与 C 重合）； 2 PM = MC 时，解得： x  8 或 x  3 PC = MC 时，解得： x  40 13 ； 80 13 或 x  0 （舍）． 40 80 综上所述，AP 的长为 13 或 13 或 5 或 8． 【总结】本题一方面考查了两圆相切的分类讨论，另一方面考查了等腰三角形的分类讨论，注意方法的归 纳总结． 4 2、如图，已知在 Rt ABC 中， �ACB  90�，AB = 5， sin �A  ，P 是 BC 边上的一点， ， 5 PE  AB 垂足为 E，以点 P 为圆心，PC 为半径的圆与射线 PE 相交于点 Q，线段 CQ 与边 AB 交于点 D． （1）求 AD 的长； （2）设 CP = x， PCQ 的面积为 y，求 y 关于 x （3）过点 C 作 CF  AB 的函数解析式，并写出定义域； ，垂足为 F，联结 PF、QF，如果 的长． Q H B E P D A C 2 2 3 【答案】（1） AD  3 ；（2） y  5 x （ 2 �x �4 ）； 24 （3）CP 的长为 2 或 11 ． 【解析】（1）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°， BC  AB gsin A  4 ，∴ AC  3 ． ∵ ∵ ∵ ∵ PC  PQ �QED  ，∴ �PCQ  �PQC 90°，∴ �PCQ  �ACD �QDE  �ADC ． �QDE  �PQC  =90°，∴ ，∴ 90°． �QDE  �ACD �ADC  �ACD ，∴ ． AD  AC  3 ． PQF 是以 PF 为腰的等腰三角形，求 CP （2）作 QH  BC ，垂足为点 H． ∵ �PEB  �ACB =90°，∴ �BPE  �ABC =90°， �ABC  �A =90°， 4 ∴ �QPH  �A ，∴ sin �QPH  ． 5 ∵ PQ  PC  x ，∴ QH  4 1 4 x ，∴ y  g x gx ， 5 2 5 2 2 3 即 y  5 x ，定义域为 2 �x �4 ． （3）解法一：在 Rt△PBE 中， �PEB  90°， BP  4  x ， sin �BPE  ∴ BE  4 16 4 3 12 3  4  x    x ， PE   4  x    x ， 5 5 5 5 5 5 ∴ EF  4 8 12 x EQ  x  ． 5 ， 5 5 2 2 2 2 4 5， 12 3 � �4 � 72 144 � PF  �  x � � x �  x 2  x ∴ 25 25 ， �5 5 � �5 � 12 � �4 � 16 2 192 144 �8 QF  � x  � � x �  x  x 5 � �5 � 5 25 25 ． �5 如果 PF  PQ ，那么 如果 PF  QF ，那么 x2  72 144 x x 25 25 ，解得： x  2 ． x2  72 144 16 2 192 144 x  x  x 25 25 5 25 25 ， 24 解得： x  0 （不合题意，舍去）， x2  11 ． 1 24 综上所述，如果△PQF 是以 PF 为腰的等腰三角形，CP 的长为 2 或 11 ． 解法二：在 Rt△PBE 中， �PEB  90°， BP  4  x ， sin �BPE  4 5， ∴ BE  4 16 4 3 12 3  4  x    x ， PE   4  x    x ， 5 5 5 5 5 5 ∴ EF  4 8 12 x ， EQ  x  ． 5 5 5 如果 PF  PQ ，那么 PF  PC ， ∴ �PCF  �PFC ， �B  �PFB ， ∴ PF  PB ，∴ CP  PB  2 ． 如果 ∴ PF  FQ ，那么 PE  EQ ， 12 3 8 12  x x ， 5 5 5 5 24 24 解得： x  11 ，∴ CP  11 ． 24 综上所述，如果△PQF 是以 PF 为腰的等腰三角形，CP 的长为 2 或 11 ． 【总结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点，另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰三角形的分类 讨论，注意此题只需分两种情况讨论即可．