专题 5.46 二次函数压轴题-特殊四边形问题（专项练习） 1．如图，二次函数 P  m, 0  y  x 2  bx  c 是 x 轴上的一动点， 的图像交 x 轴于点 PM  x 轴，交直线 A  3,0  AC ， B  1,0  ，交 y 轴于点 C．点 于点 M，交抛物线于点 N． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点 P 仅在线段 AO 上运动，如图 1．求线段 MN 的最大值； ② 若点 P 在 x 轴上运动，则在 y 轴上是否存在点 Q，使以 M，N，C，Q 为顶点的四边形为菱形． 若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴相交于 A（－1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 x 轴于点 D，链接 AC，且 AD＝5，CD＝8，将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试 探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别是(0，4)、(－ 1，0)，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°，得到平行四边形 A′B′OC′. (1)若抛物线过点 C、A、A′，求此抛物线的解析式； (2)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积 是多少？并求出此时点 M 的坐标； (3)若 P 为抛物线上的一动点，N 为 x 轴上的一动点，点 Q 坐标为(1，0)，当 P、N、B、Q 构成平 行四边形时，求点 P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 N 的坐标． 4．在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，直线 OA 交二次函数 y  1 2 x 4 的图像于点 A ， �AOB  90�，点 B 在该二次函数的图像上，设过点  0, m  （其中 m  0 ）且平行于 x 轴的 直线交直线 OA 于点 M ，交直线 OB 于点 N ，以线段 OM 、 ON 为邻边作矩形 OMPN ． （1）若点 A 的横坐标为 8． ① 用含 m 的代数式表示 M 的坐标； ② 点 P 能否落在该二次函数的图像上？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由； （2）当 m  2 时，若点 P 恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线 OA 的函数表达式． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣3x﹣3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C．抛物线 y＝ x2+bx+c 经过 A，C 两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧）． （1）求抛物线的解析式及点 B 坐标； （2）若点 M 是线段 BC 上一动点，过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E． 求 ME 长的最大值； （3）试探究当 ME 取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F，B，P 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由． y y  ax 2  bx  3(a �0) x A(1, 0), B (3, 0) C 1 6．如图 ，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 ．已知直线 y  kx  n 过 B, C 两点． （1）求抛物线和直线 BC 的表达式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点， ① 如图1 ，若点 P 在第一象限内，连接 PA ，交直线 BC 于点 D ．设 PDC 的面积为 S1 ， ADC 的 S1 面积为 S 2 ，求 S2 的最大值； ② 如图 2，抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 E ，过点 E 作 EF  BC ，垂足为 F ．点 Q 是对称轴 l 上 的一个动点，是否存在以点 E , F , P, Q 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，求出点 P, Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 7． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平 分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点 M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣ x+4． 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别在 x 轴和 1 2 y 轴上，抛物线 y  ( x  m)  n 经过 B、C 两点，顶点 D 在正方形内部． 4 （1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线； （2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式； （3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将△OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A′的 位置，当点 A′在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距 离，其顶点落在 OP 上？ 8．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点，顶点为 D（0，4），AB=4 2 ，设点 F（m，0）是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋转 180°， 得到新的抛物线 C′． （1）求抛物线 C 的函数表达式； （2）若抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的公共点，求 m 的取值范围． （3）如图 2，P 是第一象限内抛物线 C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 P 在抛物线 C′上的 对应点 P′，设 M 是 C 上的动点，N 是 C′上的动点，试探究四边形 PMP′N 能否成为正方形？若能， 求出 m 的值；若不能，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2ax+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C（0，3），tan∠OAC= 3 ． 4 （1）求抛物线的解析式； （2）点 H 是线段 AC 上任意一点，过 H 作直线 HN⊥x 轴于点 N，交抛物线于点 P，求线段 PH 的 最大值； （3）点 M 是抛物线上任意一点，连接 CM，以 CM 为边作正方形 CMEF，是否存在点 M 使点 E 恰好落在对称轴上？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，我们就说其中一条抛物线是另一 条抛物线的“友好抛物线”， （1）若抛物线 为 ． k 与 n 的数量关系为 （2）若抛物线 关系为 y  a( x  h) 2  k (a �0) y  ax 2  bx  c(a �0) ． c 与 n 的数量关系为 的“友好抛物线”为 y   a ( x  m)2  n h m ，则 与 的数量关系 ． 的“友好抛物线”为 y  ax 2  mx  n(a �0) b m ，则 与 的数量 ． l2 y  l1 y  x 2  4 x  3( a �0) （3）由以上分析，我们可以得到抛物线 ： 的“友好抛物线”为 ： l2 l1 l1 y  dx( d �0) ．如图，若抛物线 的顶点为 E ，抛物线 的顶点为 F ，直线 与抛物线 相交于点 A 、 B l2 C C （点 A 在点 B 左侧），与抛物线 相交于点 、 D （点 在点 D 左侧）． ① 若四边形 AFDE y  k2 x  b2 (k2 �0) 为菱形，求线段 ），若 AB k1 � k2 =- 1 的长（提示：已知直线 y  k1 x  b1 (k1 �0) 和 ，则两直线垂直）； ② 当四边形 AFDE 的面积为 4 时，求 d 的值． 11．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  ax 2  2ax  3a （ a0 ）与 x 轴交于 A，B 两点 （点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l： y  kx  b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一 个交点为 D，且 CD=4AC （1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k，b 用含 a 的式子表示）； 5 （2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为 4 ，求 a 的值； （3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能 否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 12．如图，已知抛物线 与 y 轴相交于点 A（0，3），与 x 正半轴相交于点 B，对 称轴是直线 x=1． （1）求此抛物线的解析式以及点 B 的坐标． （2）动点 M 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向运动，同时动点 N 从点 O 出 发，以每秒 3 个单位长度的速度沿 y 轴正方向运动，当 N 点到达 A 点时，M、N 同时停止运动． 过动点 M 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 Q，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒． ① 当 t 为何值时，四边形 OMPN 为矩形． ② 当 t＞0 时，△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由． 13．如图，抛物线 y   x 2  bx  c 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，其中点 B 的坐标为  3, 0  ，点 C 的坐标为  0,3 ，直线 1 经过 B，C 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 C 作 CD / / x 轴交抛物线于点 D，过线段 CD 上方的抛物线上一动点 E 作 EF  CD 交线 段 BC 于点 F，求四边形 ECFD 的面积的最大值及此时点 E 的坐标； （3）点 P 是在直线 l 上方的抛物线上一动点，点 M 是坐标平面内一动点，是否存在动点 P，M， 使得以 C，B，P，M 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点 P 的横坐标；若不存在，请 说明理由． 0) , C (0， 0) , B (5， 4) ． 14．如图 1（注：与图 2 完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点 A(1， （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2） P 是抛物线对称轴上的一点，求满足