专题 15 正多边形有关的对角线及中心角问题 一、多边形内角和与外角和 二、多边形的对角线 三、正多边形和圆 多边形内角和与外角和 1、多边形内角和 n 边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形 (n  2) g180° n 的每个内角都相等，都等于 ； 2、多边形的外角和 多边形的外角和为 360°． 多边形的对角线 (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等” 两个条件，二者缺一不可； n(n  3) 2 (2)过 n 边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n 边形对角线的条数为 ； (3)过 n 边形的一个顶点的对角线可以把 n 边形分成(n-2)个三角形． 正多边形和圆 1.正多边形的性质 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条 边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心 距)之比． 2.正多边形的有关计算 定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形． 正 n 边形的边长 a、边心距 r、周长 P 和面积 S 的计算归结为直角三角形的计算． an  360° 180° 180° an  2 R gsin rn  R gcos n ， n ， n ， 2 �a � 1 1 R 2  rn2  � n � S n  an grn gn  Pn grn P  n g a �2 �， n n ， 2 2 ． 专项练习 一、填空题 1．若圆内接正方形的边心距为 3，则这个圆内接正三角形的边长为_____． 2．正十边形的中心角等于______度． 3．正六边形的边心距与半径的比值为__________（结果保留根号）． 4．如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则 VACE 的周长为__． 5．如图，正五边形 ABCDE 内接于⊙O，点 F 为 BC 上一点，连接 AF，若∠AFC＝126°，则 ∠BAF 的度数为_____． 6．如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1=_____°． 7．画出一个正五边形的所有对角线，共有_____条． 8．若从一个 n 边形的一个顶点出发，最多可以引 7 条对角线，则 n＝_____． 9．如图所示，小梦发现将正六边形 ABCDEF 形”，则图中 �APB 的度数是_________． 的边向两端延长后，可以构成 “六边星角 10．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”， 已知圆的半径长为 5 ，这个圆的一个联络四边形是边长为 2 5 的菱形，那么这个菱形不在 圆上的顶点与圆心的距离是________． 11．如果正 n 边形的中心角为 2α，边长为 5，那么它的边心距为_____．（用锐角 α 的三角 比表示） 12．如图，A，B，C，D 为一个正多边形的相邻四个顶点，点 O 为正多边形的中心，若 �ADB  18� ，则从该正多边形的一个顶点出发共有______条对角线． 13．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的 内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边形的面 积 S1 来近似估计⊙O 的面积 S，设⊙O 的半径为 1，则 S﹣S1＝_____．（π 取 3.14，结果精 确到 0.01） 14．若正六边形的边长为 4，则此正六边形的边心距为__________． 15．如图，正五边形 ABCDE 内接于 __． � e O ， F 是 CD 的中点，则 �CBF 的度数为______ 16．如图，A、B、C、D 为一个正多边形的相邻四个顶点，O 为正多边形的中心，若 ∠ADB=12°，则这个正多边形的边数为____________ 17．正六边形的边长、半径、边心距之比为_________________． 18．如果一个正多边形的中心角为 36°，那么这个多边形的对角线条数是_____． 19．如图， AB、AC 分别为 eO 的内接正方形、内接正三角形的边， BC 是圆内接正 n 边形的一边，则 n 的值为_______________________． 20．如图，⊙O 的半径为 1，作两条互相垂直的直径 AB、CD，弦 AC 是⊙O 的内接正四边 形的一条边．若以 A 为圆心，以 1 为半径画弧，交⊙O 于点 E，F，连接 AE、CE，弦 EC 是该圆内接正 n 边形的一边，则该正 n 边形的面积为____． 21．门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件， 也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形 ABCDEF 的对角线 AC 的中点 O 为圆心，OB 为半径作⊙O，AQ 切⊙O 于点 P，并交 DE 于 点 Q，若 AQ=12 3 cm，则 （1）sin∠CAB=_____； （2）该圆的半径为_____cm． 22．已知正方形 MNKO 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形外边，使 OK 边与 AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点 B 顺时针旋 转，使 KN 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 NM 边与 CD 边重 合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点 M 在图中直角坐标系中的坐 标是_______，第 6 次点 M 的坐标是_______． 二、解答题 23．如图， ABCDE 是 eO 的内接正五边形．求证： AE P BD . 24．同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是_____． 25．在下列正多边形中， O 是中心，定义： OBC 为相应正多边形的基本三角形．如图 1， OBC 是正三角形 角形；如图 3， 时针旋转  OBC 角度得 （1）若线段 BC ABC 的基本三角形；如图 2， n 为正 边形 ABCDEF OBC 是正方形 ABCD …的基本三角形．将基本 的基本三 OBC 绕点 O 逆 OB �C � ． 与线段 B�C � 相交点 O� ，则： 图 1 中  的取值范围是________； 图 3 中  的取值范围是________； （2）在图 1 中，求证 BO�  O�� C （3）在图 2 中，正方形边长为 4， 若   135� ，边 B� P  OP� 有最小值时，求出该最小值及此时 （4）如图 3，当 B�� C  OC 时，直接写出  BC BP 的值． 上的一点 的长度； P 旋转后的对应点为 P� ， 参考答案 1． 3 6 【解析】 明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可求得其外接圆的半径，然后再 求内接正三角形的边长即可． 【详解】 解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． ∵正方形边长为 6， ∴正方形的对角线长为 6 外接圆半径为 2， 3 2． 如图所示：作 OD⊥BC 于 D，连接 OB， 则∠BOD=60°， 在 Rt△BOD 中，OB= 3 2 ，∠OBD=30°， 3 6 ∴BD=cos30°×OB= 2 ． ∵BD=CD， ∴BC=2BD= 3 6． 故答案为： 3 6． 【点睛】 本题考查了正多边形和圆，熟知等边三角形及正方形的性质是解答此题的关键． 2． 36 【解析】 根据正多边形的中心角的定义即可求解． 【详解】 正十边形的中心角等于 360°÷10= 36 ° 故答案为：36． 【点睛】 360� 此题主要考查中心角，解题的关键是熟知正 n 边形的中心角等于 n ． 3． 3 2 【解析】 正六边形的半径为人 r，根据正六边形的半径与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股 定理即可解得边心距，继而解题． 【详解】 如图， 设正六边形的半径 OB=r，则外接圆的半径 r， 在 Rt VBOG 中， sin 60� �OBA  60� OG 3  OG  r OB 2 ， 3 r 内切圆的半径是正六边形的边心距，因而边心距是 2 ， ， 则正六边形的边心距与半径比值为： 故答案为： 3 2 ， 3 2 ． 【点睛】 本题考查正多边形与外接圆，涉及勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是 解题关键． 4． 6 3 【解析】 作 BG⊥AC，垂足为 G．由垂径定理得出 AC＝2AG，在直角三角形 ABG 中，求出 AG 的长， 即可得出结果． 【详解】 作 BG  AC ，垂足为 G ．如图所示： 则 AC  2 AG ， Q AB  BC  AG  CG Q 六边形 ， ， ABCDEF 是正六边形，  �ABC  120� AB  BC  2 ， ，  �BAC  30� ，  AG  AB·cos 30 � 2 � 3  3， 2  AC  2 � 3  2 3 ， ACE 的周长为 3 �2 3  6 3 ． 故答案为 6 3． 【点睛】 本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质是解题的关键． 5．18°． 【解析】 根据正五边形内角和可以求出∠ABC 的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠BAF 的度数． 【详解】 解：∵正五边形 ABCDE 内接于⊙O， ∴∠ABC=  5  2  �180� 5 =108°， ∵∠AFC=126°， ∴∠BAF=∠AFC﹣∠ABF=126°﹣108°=18°． 故答案为：18°． 【点睛】 本题考查了正多边形和圆、多边形内角与外角，三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握正 多边形内角和定理． 6．18 【解析】 ∠1 的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度 数即可得出结果． 【详解】 1 ∵正五边形的内角的度数是 5 ×(5﹣2)×180°=108°， 又∵正方形的内角是 90°， ∴∠1=108°﹣90°=18°； 故答案为：18． 【点睛】 本题考查了正多边形和圆，多边形的内角和定理、正方形的性质，求得正五边形的内角的度数 是关键． 7．5