《重点题型针对复习》第 12 讲 圆综合压轴题 【方法梳理】 1.先添辅助线：圆中辅助线多建立在五大性质定理的基础上； 2.思考分析一定要建立在平面几何题型的基础上； 3.注意题中或图中出现的“四个典型”； 【强化巩固练习】 1．如图，已知△ABC 内接于⊙O，直径 AD 交 BC 于点 E，连接 OC，过点 C 作 CF⊥AD，垂足为 F．过点 D 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 G． （1）若∠G＝50°，求∠ACB 的度数； （2）若 AB＝AE，求证：∠BAD＝∠COF； （3）在（2）的条件下，连接 OB，设△AOB 的面积为 S1，△ACF 的面积为 S2，若 S1 8 = tan∠CAF 的 S 2 9 ，求 值． 2．如图，在⊙O 中，弦 AB 与直径 CD 垂直，垂足为 M，CD 的延长线上有一点 P，满足∠PBD＝∠DAB．过点 P 作 PN⊥CD，交 OA 的延长线于点 N，连接 DN 交 AP 于点 H． （1）求证：BP 是⊙O 的切线； （2）如果 OA＝5，AM＝4，求 PN 的值； （3）如果 PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP． 3．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，连接 AD，过点 D 作 DM⊥AC，垂足为 M，AB、MD 的延长线交于点 N． （1）求证：MN 是⊙O 的切线； （2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）； （3）若 BC＝6，cosC＝ 3 ，求 DN 的长． 5 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A、D 的⊙O 分别 交 AB、AC 于点 E、F． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 BE＝8，sinB＝ 5 ，求⊙O 的半径； 13 （3）求证：AD2＝AB•AF． 5．如图，△ABC 内接于⊙O，AD 平分∠BAC 交 BC 边于点 E，交⊙O 于点 D，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，设⊙O 的半径为 R，AF＝h． （1）过点 D 作直线 MN∥BC，求证：MN 是⊙O 的切线； （2）求证：AB•AC＝2R•h； （3）设∠BAC＝2α，求 AB+ AC 的值（用含 α 的代数式表示）． AD 6.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠CAB 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AE，垂足为点 E，交 AB 的延长线于点 F。 (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的直径为 AB=8，DE=2 ❑ √3 ，求 AC 的长； (3)在(2)的条件下，点 Q 是线段 DF 上的一动点（不与 D,F 重合），点 M 为 OQ 的中点，过点 Q 作 QG⊥OF，垂 足为点 G，连接 MD、MG。请问当点 Q 在线段 DF 上运动时，∠DMG 大小是否变化？若不变，则求出∠DMG 的 度数；请说明理由。 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB 上一点，经过点 A，D 的⊙O 分别 交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）设 AB＝x，AF＝y，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长； （3）若 BE＝8，sinB ¿ 5 13 ，求 DG 的长， AB 上的动点，且不与点 A、C、B 重合，直线 AM 8．如图，AB 是半 ⊙ O 的直径，半径 CO⊥AO,点 M 是 ^ 交直线 OC 于点 D,连接 OM 与 CM. （1）若半圆的半径 为 10. ① 当∠AOM=60°时，求 DM 的长； ② 当 AM=12 时，求 DM 的长； （2）探究：在点 M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。 9．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，OF⊥BC 于点 F，交⊙O 于点 E，AE 与 BC 交于点 H，点 D 为 OE 的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求证：CE2=EH•EA； （3）若⊙O 的半径为 5，sinA= 3 5 ，求 BH 的长． 10．如图，⊙O 为等边△ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在劣弧 ^ AB 上运动（不与点 A，B 重合），连接 DA，DB，DC． （1）求证：DC 是∠ADB 的平分线； （2）四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点 M，N 分别在线段 CA，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点 D 运动到每一个确定的位置， △DMN 的周长有最小值 t，随着点 D 的运动，t 的值会发生变化，求所有 t 值中的最大值． 【答案详解】 1．如图，已知△ABC 内接于⊙O，直径 AD 交 BC 于点 E，连接 OC，过点 C 作 CF⊥AD，垂足为 F．过点 D 作 ⊙O 的切线，交 AB 的延长线于点 G． （1）若∠G＝50°，求∠ACB 的度数； （2）若 AB＝AE，求证：∠BAD＝∠COF； （3）在（2）的条件下，连接 OB，设△AOB 的面积为 S1，△ACF 的面积为 S2，若 值． S1 8 = ，求 tan∠CAF 的 S2 9 【解析】先练习添辅助线，由 AD 是直径，则此题大概率需连接 BD、CD， （1）“拉一拉已知条件与未知条件的图形位置”即可解决。∠ G 在圆外，∠ACB 是圆周角，故先把∠G 往圆内拉， AB= ^ AB 便可得 由 DB⊥AG，便可“拉”到∠BDG=40°,由 AD⊥DG，进一步“拉”得圆周角∠BDA=50°，由 ^ ∠ACB=∠BDA=50°； 解：连接 BD，如图， ∵DG 为切线， ∴AD⊥DG， ∴∠ADG＝90°， ∵AD 为直径， ∴∠ABD＝90°， 而∠GDB＋∠G＝90°，∠ADB＋∠GDB＝90°， ∴∠ADB＝∠G＝50°， ∴∠ACB＝∠ADB＝50°； (2) “拉一拉已知条件与未知条件的图形位置”即可解决。∠BAD 是圆周角，∠COF 是圆心角，故先把∠COF 往圆 周角位置“拉”，由 ^ ^ CD ^ 便 可 得 ∠ CAD=∠DBC, 则 DC= ^ DC 便 可 得 ∠ COF=2∠CAD, 由 CD= ∠ COF=2∠DBC, 再 往 等 腰 三 角 形 ABE 内 部 拉 ， ∠ DBC=90°-∠ABE, 而 ∠ ABE=(180°-∠BAE)÷2, 这 样 ∠BAD 与∠COF“拉”到一起了，把上面的式子恒等变形，即可得两者的等量关系 证明：连接 CD，如图， 则∠COF=2∠CAD=2∠DBC, ∵∠ABD=90°, ∴∠DBC=90°-∠ABE， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴∠ABE=(180°-∠BAE)÷2, ∴∠DBC=90°-(180°-∠BAE)÷2= 1 2 ∠BAE， ∴∠BAD＝∠DOC； （ 3 ） 看 到 “ 面 积 比 ” 就 应 联 想 到 相 似 ， 而 △ AOB 与 △ ACF 不 相 似 ， 故 中 间 一 定 存 在 图 形 转 换 ， 由 图 易 知 S ∆ ABD=2 S ∆ AOB ，而△ABD 与△ACF 分处直径 AD 的两侧，则中间一定存在图形位置转换。由解题思路 的延续性，从第（ 2）小题找思路“突破口”，由（ 2）结论∠ BAD＝∠COF 及∠ABD=∠OFC=90°,可得 △ ABD∽△OFC ， 这样 △ABD 的 图形 位置 由直 径左 侧就 “拉” 到直 径右 侧了 ，由 相似 比与 面积 关系 可得 S ∆ ABD=4 S ∆ OFC ， 而 △ OFC 与 △ ACF 同 一 条 高 （ CF ） ， tan∠CAF=CF:AF，由可用勾股定理即可解答。 解：∵∠BAD＝∠FOC，∠ABD＝∠OFC， ∴△ABD∽△OFC， S ∆ ABD AD 2 =( ) =4 ， ∴ S ∆ OFC OC ∵ S1 8 = ， S2 9 设 S1＝8x，S2＝9x， 则 S△ABD＝2S1＝16x， ∴S△OFC＝ ∴ 1 4 •16x＝4x， S ∆ ACF AD 9 = = S ∆ OFC OF 4 ， 设 AD=9a， 则 OF=4a，OA=OC=5a， 在 Rt△OFC 中，CF= √ OC 2−OF 2=❑√(5 a)2−(4 a)2=¿ ❑ 则 tan∠CAF=CF:AF=1：3. 3a, S ∆ ACF : S ∆ OFC =AF:OF ， 而 2．如图，在⊙O 中，弦 AB 与直径 CD 垂直，垂足为 M，CD 的延长线上有一点 P，满足∠PBD＝∠DAB．过点 P 作 PN⊥CD，交 OA 的延长线于点 N，连接 DN 交 AP 于点 H． （1）求证：BP 是⊙O 的切线； （2）如果 OA＝5，AM＝4，求 PN 的值； （3）如果 PD＝PH，求证：AH•OP＝HP•AP． 【解析】先添辅助线，证切线必连 OB，由 CD 是直径可能需连 CB、CA. （1）已知条件中“∠PBD＝∠DAB”是“弦切角定理”，利用该条件及等量代换，即可证明 BP 是切线； 证明：如图，连接 BC，OB． ∵CD 是直径， ∴∠CBD＝90°， ∵OC＝OB， ∴∠C＝∠CBO， ∵∠C＝∠BAD，∠PBD＝∠DAB， ∴∠CBO＝∠PBD， ∴∠OBP＝∠CBD＝90°， ∴PB⊥OB， ∴PB 是⊙O 的切线． （2）数学典型题型“求线段长问题”，由于 PN 不是弦，故排除垂径定理，首选相似知识来解答。在已知线段 OA=5,AM=4 的图形位置附近去寻找图中的相似典型图形即可，不难发现：△OPN 内由 AM//PN 而形成的相 似典型图形“A 字模型”及△OAP 内的 “双垂模型”，组合它们的相似性质，即可求解 PN 的长度。 解：∵CD⊥AB， ∴PA＝PB， ∵OA＝OB，OP＝OP， ∴△PAO≌△PBO（SSS）， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠AMO＝90°， ∴由勾股定理可得 OM＝3， ∵∠AOM＝∠AOP，∠OAP＝∠AMO， ∴△AOM∽△POA， ∴OA:OP=OM:OA， 即 5：OP=3:5， ∴OP＝ 25 ， 3 ∵PN⊥PC， ∴∠NPC＝∠AMO＝90°，∴AM//PN， ∴AM:PN=OM:OP， 即 4：PN=3: ∴PN＝ 25 ， 3 100 ． 9 （3）相似数学典型题型“乘积