专题 3：中考动点类题目中的函数图象问题 研究函数的核心是研究变量，而动点问题形成了变量，动点问题中的函数图象题型是近年来中考频频 考查的题型. 解题的方法有观察法、分段求解析式法等. 特殊三角形中几个重要结论 例 1. 如图例 1-1，A 点在半径为 2 的⊙O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线 l，与⊙O 过 A 点的切线交于 点 B，且∠APB=60°，设 OP=x，则△PAB 的面积 y 关于 x 的函数图象大致是（　　） 图例 1-1 A． B． C． 【答案】D. 【解析】因为 PA 是⊙O 的切线，所以∠PAB=90°. D． 因为∠APB=60°，OP=x，所以 AP=2－x， ∴ （0≤x≤2） 所以 y 是 x 的二次函数，其图象是抛物线. 当 0≤x≤2 时，y 随 x 的增大而减小，通过观察，选 D. 【点睛】圆的切线性质；利用含特殊角的直角三角形三边关系，准确找到函数解析式，并判断分析其 图象. 例 2. 如图例 2-1，图①，在菱形 ABCD 中，点 E 为 AD 上的一个动点，点 F、P、Q 分别为 CD、EF、EB 的中点，设 AE＝x，图①中某条线段的长为 y，若表示 y 与 x 函数关系的图象大致如图②所示， 则这条线段可能是图①中的（ A. 线段 DE ） B. 线段 BE C. 线段 EF D. 线段 PQ 图例 2-1 【答案】B. 【解析】观察排除法. 通过观察图②，发现函数 y 的变化为一条抛物线，且先减小后增大. 而 E 点是从 A 向 D 运动，且运动至线段 AD 某处时，y 取得最小值；在两端位置时取最大值. 选项 A. 因为 DE=AD－AE=AD－y. 所以二者是一次函数关系，函数图象是一条直线，故错. 选项 B. 通过观察 BE 在 E 处于线段 AD 两端点时最大，当 BE⊥AD 时最小，符合题意. 选项 C. 观察可知 EF 的长度是越来越小的，不符题意，故错. 选项 D. 连接 BF，由题意可知 PQ 是△EBF 的中位线，即 PQ= 变，不符题意，故错. 此题选 B. 【点睛】逐项分析排除，熟练掌握三角形中位线定理. ，而 BF 为定值，所以 PQ 长度不 例 3. 如图例 3-1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 折线 AC→CB→BA 运动，最终回到点 A，设点 P 的运动时间为 x（s），线段 AP 的长度为 y（cm），则能 够反映 y 与 x 之间函数关系的图象大致是（　　） 图例 3-1 A B C D 【答案】A. 【解析】此题分段求函数解析式及排除法. ① 当点 P 在 AC 边上，即 0≤x≤1 时，y=x，图象为一条线段．故 C 错误； ② 点 P 在边 BC 上，即 1＜x≤3 时，根据勾股定理得 AP= ，即 y= ，则其 函数图象是曲线．故 B、D 错误； ③ 点 P 在边 AB 上，即 3＜x≤3+ 时，y=3+ －x，其函数图象是一条线段． 综上所述，选 A. 【点睛】分三段求出函数解析式，逐项排除. 例 4. 如图例 4-1，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BC-CD-DA 运 动，到达点 A 停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点 停止运动. 设 P 点运动时间为 x（s），△BPQ 的面积为 y（cm2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ） 图例 4-1 【答案】C. 【解析】由题意可知动点 Q 始终在 AB 边上，而动点 P 可以在 BC 边、CD 边、AD 边上，所以分三种 情况进行讨论： ①0≤x≤1；P 点在 BC 边上，BP=3x，BQ=x， . 此段图象为抛物线一部分，开口朝上，且 y 随 x 增大而增大，故 A 错. ②1＜x≤2；P 点在 CD 边上， . 此段图象应为直线一部分，且 y 随 x 增大而增大. 故 B 错. ③2＜x≤3；P 点在 AD 边上，AP=9－3x， . 此段图象为抛物线一部分，开口朝下且 y 随 x 增大而减小，故 D 错. 综上所述，此题选：C． 【点睛】分三段求出函数解析式，利用函数图象的形状逐项排除. 例 5. 如图例 5-1，平行四边形 ABCD 中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点 P 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 BC→CD→DA 运动，到达点 A 为止，设运动时间为 t(s)，△ABP 的面积为 S(cm2)，则 S 与 t 的大致图象是（ ） 图例 5-1 图例 5-2 【答案】A. 【解析】如图例 5-2，过 A 作 AH⊥BC 于 H，连接 AC. 由勾股定理得，AH=BH=1，HC=1 在 Rt△ACH 中，由勾股定理得 AC= . 所以 AC2+CD2=AD2，即△ACD 为直角三角形，AC⊥CD. 由题意可知动点 P 可以在 BC 边、CD 边、AD 边上，所以分三段进行讨论. ① 点 P 在 BC 边上时，即 0≤t≤2 时， . 此函数图象为一条线段，且是一条上升线段，故 D 错. ② 点 P 在 CD 边上时，即 2<t<2+ 时， . 此段函数值为一定值，图象是一条平行于 x 轴的线段，故 C 错. ③ 点 P 在 AD 边上时，即 2+ ≤t≤4+ 时， . 此函数图象为一条线段，且是一条下降的线段，故 B 错. 综上所述，选 A. 【点睛】利用勾股定理求得 AC 与 CD 的位置关系；分段求得函数解析式，逐项排除. 例 6. 如图例 6-1， ，作 ，射线 并截取 则 关于 的函数解析式是 和 互相垂直，点 ，连结 是 上的一个动点，点 并延长交射线 于点 在射线 ．设 上， ， ， 图例 6-1 【答案】 图例 6-2 . 【解析】如图例 6-2，过 F 作 FG⊥BC 于 G. ∵∠DEB+∠FEG=90°，∠EFG+∠FEG=90°. ∴∠EFG=∠DEB. 在 Rt△BDE 和 Rt△GEF 中， ∵∠EFG=∠DEB，∠B=∠FGE，DE=EF ∴Rt△BDE≌Rt△GEF. ∴EG=BD=2BE=2x，FG=BE=x. 又∵FG∥AB ∴ 即 整理得： . . 【点睛】利用一线三直角模型作出图形，利用平行线分线段成比例定理求解. 例 7.如图例 7-1，在平面直角坐标系中，四边形 是边长为 4 的正方形，平行于对角线 的直线 l 从 出发，沿 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动到直线 l 与正方形没有交点为止．设直线 l 扫过正方形 的面积为 ，直线 l 运动的时间为 （秒），下列能反映 与 之间函数关系的图象 是( ) 图例 7-1 A B C D 【答案】D. 【解析】由题意可知，在直线 l 运动过程中，扫过正方形 的图形以 BD 为界，分两段讨论. ① 当 0≤t≤4 时， 此函数图象为抛物线的一段，且 S 随 t 的增大而增大，故 B、C 错. ② 当 4<t≤8 时， 此函数图象为抛物线的一段，且 S 随 t 的增大而减小，故 A 错. 综上所述，选 D. 【点睛】分析出以 BD 为界，分两段进行讨论，求得解析式，利用图象逐项排除. 例 8.如图例 8-1，点 位长度的速度沿 与点 是菱形 边上一动点，若 ， 的路线运动，当点 运动的时间 之间的函数关系的图象是( ) 运动到点 ，点 从点 出发，以每秒 1 个单 时停止运动，那么 的面积为 图例 8-1 【答案】C. 【解析】∵∠A=60°，AB=4， ∴菱形的高为 . 由题意得点 P 在线段 AB、BC、CD 上，分三段进行讨论. ① 点 P 在线段 AB 上，即 0≤t≤4 此函数图象为直线的一段，且 S 随 t 的增大而增大，最大为 ② 点 P 在线段 BC 上，即 4<t≤8 此函数函数值为定值 ，故 B 错. ③ 点 P 在线段 CD 上，即 8<t≤12 ，故 D 错. 此函数函数值为直线的一段，且 S 随 t 的增大而减小，故 A 错. 综上所述，选 C. 【点睛】利用三角函数求得菱形的高；分段求函数解析式. 例 9. 如图例 9-1，矩形 上移动，记 中， ，点 到直线 ， ，动点 从 点出发，按 的方向在 的距离为 ，则 关于 的函数图象大致是（ 图例 9-1 【答案】B. 【解析】因为 P 在 AB 和 BC 上运动，所以分两段进行讨论 ① 当点 P 在边 AB 上运动时，即 0≤x≤3 时，y=4，其图象为一平行于 x 轴的线段，故 D 错； ② 当点 P 在边 BC 上运动时，即 3<x≤5 时，连接 AC、DP，由 得： ，即 其图象为双曲线的一个分支，故 A、C 错 所以选 B. 【点睛】分段求函数解析式；利用割补法求面积. ） 和