初中数学教材知识梳理·系统复习 第一单元 数与式 第1讲 实 数 知识点一：实数的概念及分类 （1）按定义分 正有理数 有理数 0 1.实数 关键点拨及对应举例 （2）按正、负性分 有限小数或 正实数 负有理数 无限循环小数 实数 0 实数 （1）0 既不属于正数，也不属于负数. （2）无理数的几种常见形式判断：①含 π 的 式子；②构造型：如 3.010010001…（每两 个 1 之间多个 0）就是一个无限不循环小数； ③开方开不尽的数：如，；④三角函数型： 正无理数 负实数 无理数 无限不循环小数 负无理数 如 sin60°，tan25°. （3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属 于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数. 知识点二 ：实数的相关概念 2.数轴 （1）三要素：原点、正方向、单位长度 （2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示 的数总比左边的点表示的数大 例： 数 轴 上 -2.5 表 示 的 点 到 原 点 的 距 离 是 2.5. a 的相反数为-a，特别的 0 的绝对值是 0. 3.相反数 （1）概念：只有符号不同的两个数 （2）代数意义：a、b 互为相反数 a+b=0 （3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距 离相等 （1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离 （2）运算性质：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b) -a(a＜0). b-a(a＜b) （3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则 a=b=0. （1）若|x|=a（a≥0），则 x=±a. （2）对绝对值等于它本身的数是非负 数. 例：5 的绝对值是 5；|-2|=2；绝对值等 于 3 的是±3;|1-|=-1. （1）概念：乘积为 1 的两个数互为倒数.a 的倒数为 1/a(a≠0) （2）代数意义：ab=1a,b 互为倒数 例： -2 的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数 有±1. 4.绝对值 5.倒数 例：3 的相反数是-3，-1 的相反数是 1. 知识点三 ：科学记数法、近似数 6. 科学记 数法 7.近似数 （1）形式：a×10n,其中 1≤|a|＜10，n 为整数 （2）确定 n 的方法：对于数位较多的大数，n 等于原数的整数 为减去 1；对于小数，写成 a×10-n，1≤|a|＜10，n 等于原数中左 起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个） 例： 21000 用科学记数法表示为 2.1×104； 19 万用科学记数法表示为 1.9×105 ； 0.0007 用科学记数法表示为 7×10-4. （1）定义：一个与实际数值很接近的数. （2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪 一位. 例： 3.14159 精确到百分位是 3.14；精确 到 0.001 是 3.142. 知识点四 ：实数的大小比较 8. 实数的 大小比较 （1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大. （2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对 值大的反而 小. （3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b. （4）平方法：a＞b≥0a2＞b2. 例： 把 1，-2,0，-2.3 按从大到小的顺序 排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_. 知识点五 ：实数的运算 乘方 9 几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负） 零次幂 a0=_1_(a≠0) 负指数幂 . 立方根 （1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__; a-p=1/ap（a≠0，p 为整数） 平方根、 算术平方根 常 见 运 算 例： 3-1=_1/3_;π0=__1__; (2)64 的平方根是_±8__,算术平方根是 若 x2=a（a≥0）,则 x= � a .其中 a 是算术平方根. __8_,立方根是__4__. 3 若 x3=a,则 x= a . 失分点警示：类似 “的算术平方根”计算 错误. 例：相互对比填一填：16 的算 先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左 向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律， 使问题简单化 术 平 方 根 是 4___, 的 算 术 平 方 根 是 ___2__. 第 2 讲 整式与因式分解 知识点一：代数式及相关概念 关键点拨及对应举例 （1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的 1.代数 式 字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式． 求代数式的值常运用整体代入法计算. （2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫 例：a－b＝3，则 3b－3a＝－9. 做求代数式的值． （1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单 2. 整 式 项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数 和叫做单项式 （ 单 项式 多 项 式） （2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高 的次数. 的项的次数叫做多项式的次数. 例： （1）下列式子：①-2a2;②3a-5b； ③ x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦ 2017. 其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项 式是②⑥；同类项是①和⑤. （3）整式：单项式和多项式统称为整式. （4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有 的常数项都是同类项. （2）多项式 7m5n-11mn2+1 是六次三项式， 常数项是 __1 . 知识点二：整式的运算 3. 整 式 (1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的 的 加 减 运 算 (2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”， 4. 幂 运 算 法 则 指数不变． 则括号里的各项都变号. (2)幂的乘方：(a ) ＝a ； mn (3)积的乘方：(ab)n＝an·bn； (4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n (a≠0). 号，一定要变号，且与括号内每一项相乘 不要有漏项. 例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2. (3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项. (1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n； m n 失分警示：去括号时，如果括号外面是符 其中 m,n 都在整数 (1)计算时，注意观察，善于运用它们的 逆运算解决问题.例：已知 2m+n=2,则 3×2m×2n=6. （2）在解决幂的运算时，有时需要先化 成同底数.例：2m·4m=23m. (1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄． 5. 整 式 的 乘 除 运 算 6.混合 运算 (2)单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb. 失分警示：计算多项式乘以多项式时，注 (3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. 意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错. (4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除. 例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2. (5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加． （6） 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 乘法 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 变形公式： 公式 a +b =(a±b) ∓2ab,ab=【(a+b) -（a +b ）】 /2 2 2 2 2 2 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的 运用 2 注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、 代入替换、计算． 例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__. 知识点五：因式分解 (1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式． (2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). ② 公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2. (3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式 法分解；③检查各因式能否继续分解. 7.因式 分解 (1) 因式分解要分解到最后结果不能再分 解为止，相同因式写成幂的形式； (2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算． 第3讲 分 式 知识点一：分式的相关概念 1. 分 式 的 概 念 （1）分式：形如 关键点拨及对应举例 A (A，B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0) B 的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. A (1)无意义的条件：当 B＝0 时，分式 B 无意义； A 2. 分 式 的 (2)有意义的条件：当 B≠0 时，分式 B 有意义； 意义 (3)值为零的条件：当 A＝0，B≠0 时，分式 3. 基 本 性 质 A ＝0. B A A� C A �C   C B �C (C≠0)． ( 1 ) 基本性质： B B � 在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1） 判断化简之间的式子；（2）π 是常数，不是字 2x  2 母. 例：下列分式：①;②; ③;④ x 2  1 ，其中 是分式是②③④；最简分式 ③. 失分点警示：在解决分式的值为 0，求 值的问题时，一定要注意所求得的值满 足分母不为 0. x2 1 例： 当 x  1 的值为 0 时，则 x＝-1. 由分式的基本性质可将分式进行化简： （2）由基本性质可推理出变号法则为： A A A A  A    A    . ；   B B B B B B 知识点三 ：分式的运算 例：化简： x2  1 x 1 = . x  2x  1 x  1 2 4. 分 式 的 约分和 通分 5. 分 式 的 加减法 6. 分 式 的 (1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 分式通分的关键步骤是找出分式的最 简公分母，然后根据分式的性质通分. am a 即 bm  b； (2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的 2 5 分式化为同分母的分式，即 a +a =a (1)同分母：分母不变，分子相加减.即±＝； (2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即±＝. (1)乘法：·＝； n 乘除法 3 �a � �b � (3)乘方： � �＝ a c ad � (2)除法： b d ＝