2020-2021 学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（上）期中 数学试卷 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 2 分，满分 12 分） 1．（2 分）下列方程属于一元二次方程的是 ( 　　 ) A． x 2  y  2  0 2 B． x  1 50 x C． x2  5x  1  0 D． ax 2  bx  c  0 2．（2 分）下列二次根式是最简二次根式的是 ( 　　 ) a 2  b 2 (a  b  0) A． 0.8 B． C． 45a x D． 3 3．（2 分）如图， AD 是 ABC 中 �BAC 的平分线， DE  AB 交 AB 于点 E ， DF  AC 交 AC 于点 F ，若 SABC  7 ， DE  2 ， AB  4 ，则 AC 的长为 ( 　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2 分）下列题设中，一定能得到结论为“互相垂直”的个数是 ( 　　 ) ① 互为邻补角的两个角的平分线； ② 互为对顶角的两个角的平分线； ③ 两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线； ④ 两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2 分）如图，要建一个面积为 65 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的 一边开一道 1 米宽的小门，现有 32 米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边 ( ) x 长度为 米，则可列方程为 　　 A． C． (33  2 x) x  65 B． (31  2 x) x  65 D． (32  2 x) x  65 (32  2 x)( x  1)  65 6．（2 分）三角板是我们学习数学的好帮手．将一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的 延 长 线 上 ， 点 B 在 ED 上 ， AB / /CF ， �F  �ACB  90�， �E  45�， �A  60�， 若 AC  2 A． ，则 CD ( ) 的长是 　　 3 1 B． 3 C． 4 3 D． 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 2 分，满分 24 分） 7．（2 分）要使代数式 1 8．（2 分）计算： 2  1 9．（2 分）方程 x 1   8 x( x  2)  x 1 x  3 有意义， x 的取值范围是 　　． 　　． 的根是　 　． 3 3 10．（2 分）若关于 x 的一元二次方程 (a  2) x 2  (1  2a) x  a  0 a 有实根，则 的取值范围 是 　　． 11．（2 分）在实数范围内因式分解： 3x 2  4 xy  y 2  　　． x 2x  5  5x 12．（2 分）关于 的不等式： 的解集为 　　． 13．（2 分）如图，在 RtABC 中， �ACB  90�， CD  AB 于点 D ， CM 是 AB 边上的中 线，若 CD  4 ， CM  5 ，则 SABC  　　． 14．（2 分）“等腰三角形两腰上的中线相等．”的逆命题是　 　． 15．（2 分）经过线段 AB 两个端点的圆的圆心的轨迹是　 　． 16．（2 分）如图， �ABC  60�， AB  3 ，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速 度沿射线 BC 运动，设点 P 的运动时间为 t 秒，当 ABP 是钝角三角形时， t 满足的条件是 ． 17．（2 分）如图， ABC 中， AB  AC ， BC  5 ， SABC  15 ， AD  BC 于点 D ， EF 垂 直平分 AB ，交 AC 于点 F ，在 EF 上确定一点 P ，使 PB  PD 最小，则这个最小值为　　． 18．（2 分）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形” 这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等 边三角形就是一个优比为 1 的优三角形．若 ABC 是优三角形，且 �ABC  120�， BC  4 ． 则这个三角形的面积是 　　． 三、简答题：（本大题共 4 题，每题 6 分，共 24 分） 3 19．（6 分）计算： 2  2 32  (1  2)2 ． 1  x2 1  2 x  x( x  2 2) 2 20．（6 分）解方程： 4 ． 1 2 3 21．（6 分）用配方法解方程：  x  x   0 ． 3 2 22．（6 分）尺规作图：已知 求作：点 P ，使 PO  PQ �AOB ，且 P 到 及边 OA OB 、 上有一点 OB Q ． 的距离相等．（不要求写作法，保留作图痕 迹） 四、解答题：（本大聪共 4 题，第 23 题 8 分，第 24、25 题每题 10 分，第 26 题 12 分， 共 40 分） 23．（8 分）2020 年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平， 为助力脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其 3 月份的销售 量达到 400 包．若农产品礼包每包进价 25 元，原售价为每包 40 元，该村在今年 4 月进行 降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价 1 元，销售量可增加 5 袋，当农产品礼 包每包降价多少元时，这种农产品在 4 月份可获利 4620 元？ 24．（10 分）已知：如图，在 ABC 中， AD  BC ，垂足为点 D ， BE  AC ，垂足为点 E ，交 AD 于点 F ， M 为 AB 边的中点，联结 ME 、 MD 、 ED ． （1）求证： MED 为等腰三角形； （2）若 DM  AB ，求证： DF  CD ． 25．（10 分）已知等腰直角 ABC 中， AB  AC ， �BAC  90�，点 D 是 AC 边上一点， 以 BD 为边作等腰直角 BDE ，其中 BD  BE ， �DBE  90�，边 AB 与 DE 交于点 F ，点 G 是 BC 上一点．若 DG  DE ，联结 FG ． （1）若 �ABD  30�， AD  2 ，求点 F 到 BD 的距离； （2）求证： DG  EF  FG ． 26．（12 分）如图，在平面直角坐标系中， C O 为坐标原点， ABC 的顶点 A(2, 0) ，点 B y x �ACB  90� �BAC  60� 分别在 轴和 轴的正半轴上， ， ． 、 （1）点 B 的坐标为 　　． （2）点 P 为 AC 延长线上一点，过 P 作 PQ / / x 轴交 BC 的延长线于点 Q ．若点 P 的横坐 PQ t t d d 标为 ，线段 的长为 ，请用含 的式子表示 ； （3）在（2）的条件下，点 E 是线段 3 ，求证： CQ  CE ． �APB  �OEB  30� 2 CQ 上一点，联结 OE 、 BP ，若 OE  PB ， 2020-2021 学年上海市徐汇区西南模范中学八年级（上）期中 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 2 分，满分 12 分） ( ) 1．（2 分）下列方程属于一元二次方程的是 　　 2 B． x  A． x 2  y  2  0 1 50 x C． x2  5x  1  0 D． ax 2  bx  c  0 【解答】解： A 、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B 、方程中含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C D 、是一元二次方程，故此选项符合题意； 、当 a0 时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选： C ． ( ) 2．（2 分）下列二次根式是最简二次根式的是 　　 B． C． 45a x 3 D． 【解答】解： A 、原式  2 5 5 ，故 A 不符合题意． 2 2 B 、原式  a  b ，故 B 符合题意． C a 2  b 2 (a  b  0) A． 0.8 、原式 D 、原式  3 5a  ，故 C 不符合题意． 3x 3 ，故 D 不符合题意． 故选： B ． 3．（2 分）如图， AD 是 ABC 中 �BAC 的平分线， DE  AB 交 AB 于点 E ， DF  AC 交 AC 于点 F ，若 SABC  7 A．3 ， DE  2 B．4 ， AB  4 ，则 AC ( ) 的长为 　　 C．5 D．6 【解答】解：Q AD 是 �BAC 的平分线， DE  AB ， DF  AC ，  DF  DE  2 ， Q SABD  SACD  SABC ， 1 1 �2 �4  �2 �AC  7 ， 2 2  AC  3 ． 故选： A ． ( ) 4．（2 分）下列题设中，一定能得到结论为“互相垂直”的个数是 　　 ① 互为邻补角的两个角的平分线； ② 互为对顶角的两个角的平分线； ③ 两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线； ④ 两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线． A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故①正确； ② 互为对顶角的两个角的平分线在同一直线上，故②不正确； ③ 若两条平行线被第三条直线所截，则一组同旁内角的角平分线互相垂直，故③正确； ④ 两平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线互相平行，故④不正确． 一定能得到结论为“互相垂直”的个数有 2 个． 故选： C ． 5．（2 分）如图，要建一个面积为 65 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的 一边开一道 1 米宽的小门，现有 32 米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙的一边 ( ) x 长度为 米，则可列方程为 　　 A． C． (33  2 x) x  65 B． (31  2 x) x  65 D． (32  2 x) x  65 (32  2 x)( x  1)  65 【解答】解：设