特训 06　与一元二次方程有关的阅读理解题 【方法点津】 　　阅读理解题是近年来中考试题中出现的新题型,它以内容丰富、构思新颖别致、题 型多样为特点,由阅读材料和解决问题两部分组成,让考生在阅读的基础上,理解其中的内容、 方法和思想,进而解决问题.解答阅读理解题,要读懂材料,正确理解题意,弄清题目要求,理清问 题与材料之间的关系.把问题带到题目中,认真理解材料所提供的思路,多角度去思考,或直接运 用阅读中得到的方法、思想解决问题,或在材料中所提供的信息的基础上加以类比、变式、 拓展得到类似的方法进行求解. 【典题精练】 类型一　十字相乘法解一元二次方程 1.阅读下列材料: 将多项式 x2+2x-35 分解因式,我们可以按下面的方法解答: 解:① 竖分二次项与常数项:x -5 x2=x·x,-35=(-5)×(+7). ② 交叉相乘,验中项:x -5⇒x·7=7x,x·(-5)=-5x,且 7x+(-5x)=2x. ③ 横向写出两因式:x2+2x-35=(x-5)(x+7). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法. 根据乘法原理:若 ab=0,则 a=0 或 b=0. 试用上述方法和原理解下列方程: (1)x2-10x+21=0; (2)x2+2x=8; (3)x2-5x-6=0. 类型二　换元法解一元二次方程 2.请你先认真阅读下列材料,再参照例子解答问题. 已知(x+y-3)(x+y+4)=-10,求 x+y 的值. 解:设 t=x+y,则原方程变形为(t-3)(t+4)=-10,即 t2+t-2=0. ∴(t+2)(t-1)=0.∴t1=-2,t2=1. ∴x+y=-2 或 x+y=1. 解答问题: 已知(x2+y2-4)(x2+y2+2)=7,求 x2+y2 的值. 类型三　含绝对值的一元二次方程的解法 3.阅读例题,解答问题. 例:解方程 x2+ |x +1| -1=0. 解:(1)当 x+1≥0,即 x≥-1 时, 原方程化为 x2+x+1-1=0,即 x2+x=0. 解得 x=0 或 x=-1. (2)当 x+1<0,即 x<-1 时, 原方程化为 x2-(x+1)-1=0,即 x2-x-2=0. 解得 x=-1 或 x=2. ∵x<-1,∴x=-1 和 x=2 都不符合题意,舍去. 综上所述,原方程的解是 x1=0,x2=-1. 依照上述解法,解方程:x2-2 |x -2| -4=0. 类型四　与一元二次方程有关的几何问题的解法 4.发现思考:已知等腰三角形 ABC 的两边长分别是方程 x2-7x+10=0 的两个根,求等腰三角 形 ABC 三条边的长各是多少. 下面是小明同学的作业,老师说他的做法有错误,请你找出错误之处并说明错误原因. 小明的作业: 解:x2-7x+10=0, ∵a=1,b=-7,c=10, ∴b2-4ac=9>0. ∴x= 7±3 -b± ❑√ b 2 -4 ac = 2 . 2a ∴x1=5,x2=2. 若腰长为 5,底边长为 2,则等腰三角形的三条边长分别为 5,5,2; 若腰长为 2,底边长为 5,则等腰三角形的三条边长分别为 2,2,5. 探究应用: 请解答以下问题: 已知等腰三角形 ABC 的两边长分别是关于 x 的方程 x2-mx+ 根. (1)当 m=2 时,求△ABC 的周长; (2)当△ABC 为等边三角形时,求 m 的值. m 1 2 4 =0 的两个实数 5.我们知道,解一元二次方程,可以把它转化为两个一元一次方程来解,其实用“转化”的数 学思想,我们还可以解一些新的方程,例如一元三次方程 x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转 化为 x(x2+x-2)=0,解方程 x=0 和 x2+x-2=0,可得方程 x3+x2-2x=0 的解. (1)方程 x3+x2-2x=0 的解是　; (2)用“转化”思想求方程 ❑ √ 2 x +3 =x 的解; (3)如图 6-S-1,已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=14 m,宽 AB=12 m,小华把一根长为 28 m 的 绳子的一端固定在点 B 处,沿草坪边沿 BA,AD 走到点 P 处,把长绳 PB 段拉直并固定在点 P 处, 然后沿草坪边沿 PD,DC 走到点 C 处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点 C 处, 求 AP 的长. 图 6-S-1 类型五　新定义方程 6.如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的 2 倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.研究发现了此类方程的一般性结论:设其中一个根为 t,另 一个根为 2t,则 ax2+bx+c=a(x-t)(x-2t)=ax2-3atx+2t2a,所以有 b2- 9 9 2 2 ac=0;我们记 K=b - 2 ac, 当 K=0 时,方程 ax2+bx+c=0 为倍根方程.下面我们根据此结论来解决问题: (1)方程① x2-x-2=0;方程② x2-6x+8=0 这两个方程中,是倍根方程的是　　　　(填序号); (2)若(x-2)(mx+n)=0 是关于 x 的倍根方程,求 4m2+5mn+n2 的值; (3)关于 x 的一元二次方程 x2- ❑ √m x+ 数 y=3x-8 的图象上,求此倍根方程的表达式. 2 3 n=0(m≥0)是倍根方程,且点 A(m,n)在一次函 特训 06　与一元二次方程有关的阅读理解题 1.解:(1)x2-10x+21=0. 原方程可变形为(x-3)(x-7)=0. ∴x-3=0 或 x-7=0.∴x1=3,x2=7. (2)x2+2x=8.整理,得 x2+2x-8=0. 原方程可变形为(x-2)(x+4)=0. ∴x-2=0 或 x+4=0. ∴x1=2,x2=-4. (3)x2-5x-6=0. 原方程可变形为(x-6)(x+1)=0. ∴x-6=0 或 x+1=0. ∴x1=6,x2=-1. 2.解:设 t=x2+y2, 则原方程变形为(t-4)(t+2)=7, 即 t2-2t-15=0. 解得 t1=5,t2=-3(不合题意,舍去). ∴x2+y2=5. 3.解:x2-2|x-2|-4=0. (1)当 x-2≥0,即 x≥2 时, 原方程化为 x2-2(x-2)-4=0,即 x2-2x=0. 解得 x=0 或 x=2. ∵x≥2,∴x=0 不符合题意,舍去. (2)当 x-2<0,即 x<2 时, 原方程化为 x2+2(x-2)-4=0,即 x2+2x-8=0. 解得 x=-4 或 x=2. ∵x<2, ∴x=2 不符合题意,舍去. 综上所述,原方程的解是 x1=2,x2=-4. 4.解:发现思考: 错误之处:若腰长为 2,底边长为 5,则等腰三角形的三条边长分别为 2,2,5. 错误原因:此时不能构成三角形. 探究应用: (1)当 m=2 时,方程为 x2-2x+ 解得 x1= 1 3 ,x2= 2 2 . 若腰长为 1 3 ,底边长为 2 2 , ∵ 1 1 3 + < 2 2 2 , ∴ 1 1 3 , , 2 2 2 不能构成三角形; 若腰长为 为 3 4 =0, 3 1 3 3 1 ,底边长为 ,等腰三角形的三边长分别为 , , 2 2 2 2 2 ,此时周长 3 3 1 7 2 + 2 + 2 = 2 . 故当 m=2 时,△ABC 的周长为 7 2 . (2)若△ABC 为等边三角形,则原方程有两个相等的实数根, ∴Δ=(-m)2-4 m 1 2 4 =m2-2m+1=0. ∴m1=m2=1. 故当△ABC 为等边三角形时,m 的值为 1. 5.解:(1)∵x3+x2-2x=0, ∴x(x2+x-2)=0. ∴x(x-1)(x+2)=0. 则 x=0 或 x-1=0 或 x+2=0, 解得 x1=0,x2=1,x3=-2. 故答案为 x1=0,x2=1,x3=-2. (2)∵ ❑ √ 2 x +3 =x, ∴2x+3=x2,即 x2-2x-3=0. ∴(x+1)(x-3)=0. 则 x+1=0 或 x-3=0. 解得 x1=-1,x2=3. 又 x≥0,∴x=3. (3)设 AP=x,则 DP=14-x. ∵AB=CD=12,∠A=∠D=90°, ∴PB= √ A B 2 + A P2 ❑ = √ 122 + x 2 ❑ ,PC= √ P D2 +C D2 ❑ ∵PB+PC=28, √ 122 + x 2 ∴ ❑ 即 ❑ + √ (14- x )2 +1 22 ❑ √ (14- x )2 +1 22 两边平方,整理可得 =28- =28, √ 122 + x 2 ❑ √ 144+ x 2 ❑ = . x +21 . 2 两边再平方,整理可得 x2-14x+45=0. 解得 x1=5,x2=9. 则 AP 的长为 5 m 或 9 m. 6.解:(1)在方程① x2-x-2=0 中,K=(-1)2在方程② x2-6x+8=0 中,K=(-6)2- 9 2 ×1×(-2)=10≠0; 9 2 ×1×8=0. ∴是倍根方程的是② x2-6x+8=0. 故答案为②. (2)整理(x-2)(mx+n)=0,得 mx2+(n-2m)x-2n=0. ∵(x-2)(mx+n)=0 是倍根方程, ∴K=(n-2m)2- 9 2 m·(-2n)=0. ∴4m2+5mn+n2=0. (3)∵x2∴K=(- ❑ √m ❑ √m 整理得 m=3n. x+ )2- 2 3 n=0 是倍根方程, 9 2 × 2 3 n=0. = √ (14- x )2 +1 22 ❑ . ∵点 A(m,n)在一次函数 y=3x-8 的图象上, ∴n=3m-8. ∴n=1,m=3. ∴此倍根方程的表达式为 x2- ❑ √3 x+ 2 3 =0.