第二十四章 圆 24.5 切线长定理（基础巩固） 【知识点梳理】 知识点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 知识点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .（切线的判定 定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可） . ． 2 　 　 圆 切 的 切 线 线 的 垂 直 性 于 质 过 切 定 点 理 的 半 ： 径 知识点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 知识点二、切线长定理 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 知识点诠释： 　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而 非线段. . 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条 切线的夹角. 知识点诠释： 　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 知识点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 　　知识点诠释： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切 圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半 径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外 三角形三边中垂线的 (1)OA=OB=OC；(2)外心不 接圆的圆心) 一定在三角形内部 交点 内心(三角形内 三角形三条角平分线 (1)到三角形三边距离相等； 切圆的圆心) (2)OA、OB、OC 分别平分 的交点 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 【典型例题】 类型一、切线长定理 例 1． 如图，PA、PB、DE 分别切⊙O 于 A、B、C，⊙O 的半径长为 6 cm，PO＝10 cm，求△PDE 的周长． 【答案与解析】 连结 OA，则 OA⊥AP． 2 2 2 2 在 Rt△POA 中，PA＝ OP  OA ＝ 10  6 ＝8（cm）． 由切线长定理，得 EA＝EC，CD＝BD，PA＝PB， ∴ △PDE 的周长为 PE＋DE＋PD＝PE＋EC＋DC＋PD， ＝PE＋EA＋PD＋DB ＝PA＋PB＝16（cm）． 【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线 长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换． 例 2．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AD 与△ABC 的外接圆⊙O 恰好相切于 点 A，∠DAE=∠ABE,边 CD 与⊙O 相交于点 E，连接 AE，BE． （1）求证：AB=AC； （2）若过点 A 作 AH⊥BE 于 H，求证：BH=CE+EH． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理证明∠ABC=∠ACB，得到答案； （2）作 AF⊥CD 于 F，证明△AEH≌△AEF，得到 EH=EF，根据△ABH≌△ACF，得 到答案． 【答案与解析】 证明：（1）∵∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC， ∴∠DAC=∠ABC， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC； （2）作 AF⊥CD 于 F， ∵四边形 ABCE 是圆内接四边形， ∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB， ∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB， ∴∠AEH=∠AEF， 在△AEH 和△AEF 中， ， ∴△AEH≌△AEF， ∴EH=EF， ∴CE+EH=CF， 在△ABH 和△ACF 中， ， ∴△ABH≌△ACF， ∴BH=CF=CE+EH． 【总结升华】本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和 性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的 性质的运用． 举一反三： 【变式】如图，在△ABC 中，∠B=60°，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点 A 作⊙O 的切 线，交 CO 的延长线于点 M，CM 交⊙O 于点 D． （1）求证：AM=AC； （2）若 AC=3，求 MC 的长． 【答案】（1）证明：连接 OA， ∵AM 是⊙O 的切线，∴∠OAM=90°， ∵∠B=60°，∴∠AOC=120°， ∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°， ∴∠AOM=60°，∴∠M=30°， ∴∠OCA=∠M， ∴AM=AC； （2）作 AG⊥CM 于 G， ∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG= ， 由勾股定理的，CG= ， 则 MC=2CG=3 ． 类型二、 三角形的内切圆 　例 3． 已知：如图，△ABC 的三边 BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆 O 的半径长 为 r．求△ABC 的面积 S． 【答案与解析】 设内切圆与三角形的三边 AB、AC、BC 分别交于 D、E、F， 连接 OE、 OF、OD、AO、BO、CO. 1 ∴△ABC=△AOB+△AOC+△BOC= 2 r(a+b+c). 【总结升华】考虑把△ABC 的面积分割成 3 个以圆的半径为高的三角形面积的和，从 而求出△ABC 的面积. 举一反三： 【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的 半径 r. 【答案】 连结 OA、OB、OC， ∵△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5. 1 1 1 1 �5r + �4r + �3r = �3 �4，r =1 则 S△AOB+S△COB+S△AOC=S△ABC，即 2 2 2 2 类型三、与相切有关的计算与证明 　例 4．如图，平行四边形 ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于 F，交 BC 于 G，延长 BA 交圆于 E. （1）若 ED 与⊙A 相切，试判断 GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若 GC＝CD＝5，求 AD 的长. 【答案与解析】 （1）结论： GD 与 e O 相切 证明：连接 AG ∵点 G 、 E 在圆上， ∴ AG  AE ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ∴ ∵ �B  �1 ，�2  �3 AB  AG ，∴ �B  �3 ，∴ �1  �2 �AE  AG � �1  �2 � 在 和 �AD  AD AED AGD � ∴ AED ≌ AGD ，∴ �AED  �AGD ∵ ED 与 e A 相切 ∴ �AED  90� �AGD  90� ，∴ ∴ AG  DG ∴ GD 与 eA 相切 （2）∵ GC  CD  5 ，四边形 ABCD 是平行四边形 AB  DC ∴ �4  �5 ， AB  AG  5 1 �5  �6  �B ，∴ ，∴ AD ∥ BC �4  �6 2 ∵ ∴ ， �2  2�6 ，∴ �6  30� ∴ AD  10 . 【总结升华】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将 所有条件放在最基本的三角形中求解的能力.判断出 DG 与圆相切不难，难点在于如何证明. 第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而 求解. 【巩固练习】 一 、 1. 下列说法中，不正确的是 ( 选 择 题 ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．△ABC 的三边长分别为 a、b、c，它的内切圆的半径为 r，则△ABC 的面积为（ ） 1 A. 2 （a＋b＋c）r 1 B.2（a＋b＋c） C. 3 （a＋b＋c）r D.（a＋b＋c）r 3.如图，点 P 在⊙O 外，PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点，∠P=50°，则∠AOB 等 于（　　） A．150° B．130° C．155° D．135° 4. 如图所示，⊙O 的外切梯形 ABCD 中，如果 AD∥BC ，那么∠DOC 的度数为( 　 A.70° 　 　 　 B.90° 　 　 　 C.60° 　 　 　 ) D.45° 　 　 　 　 第 4 题图 第 5 题图 5．如图， PA 是 ⊙ O 的切线，切点为 A，PA=2 3 ,∠APO=30°，则 ⊙ O 的半径为（ ） A.1 B. 3 C.2 D.4 6．已知如图所示，等边△ABC 的边长为 2 是 3cm 的圆是( cm，下列以 A 为圆心的各圆中， 半径 ) 　　 二、填空题 7．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点 D、E、F，若∠DEF=52o，则∠A 的度 为________． 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 8．如图，一圆内切于四边形 ABCD，且 AB=16，CD=10，则四边形 ABCD 的周长为_ _______． 9．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度． PA 、 PB 分别切⊙ O 于点 A 、 B ，点 E 是⊙ O 上一点，且 AEB 60 ，  10．如图， 则 P ____度． 第 10 题图 第 11 题图 11．如图，PA 与⊙O 相切，切点为 A，PO 交⊙O 于点 C，点 B 是优弧 CBA 上一点， 若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 . 12.已知点 P 是半径为 1 的⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，且 PA=1，AB 是⊙O 的弦， AB= ，连接 PB，则