二次函数与等腰三角形 分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置 例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A、B、P 三点构成等腰三角形，则可分成以下几种 情况 （1）当 为顶角时， （2）当 为顶角时， （3）当 为顶角时， 1 .如图，抛物线 与 y 轴交于点 A（0，3），与 x 轴交于点 B（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 AB，点 C 为线段 AB 上的一个动点，过点 C 作 y 轴的平行线交抛物线于点 D， 设 C 点的横坐标为 m，线段 CD 长度为 d（d≠0）．求 d 与 m 的函数关系式（不要求写出 自变量 m 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接 AD，是否存在 m 值，使△ACD 是等腰三角形？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或 或 m=1． 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得 C、D 点坐标，根据平行于 y 轴的直线上两点 间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，可得关于 m 的方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】 （1）∵A（0，3），B（4，0） ，解得 ∴ ， ∴该抛物线的解析式是 （2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b1∵A（0，3），B（4，0） ∴ ，解得 ∴直线 AB 的解析式为 ∵CD∥y 轴　 ∴C、D 两点的横坐标都为 m． 在 ∴C（m， 在 ∴D（m， ∴ 中，当 x=m 时， ） 中，当 x=m 时， ）， （3）存在． ∵A（0，3），B（4，0）∴OA=3，OB=4， 过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E，∴CE∥OB，∴△ACE∽△ABO，∴ 若△ACD 是等腰三角形，则分以下情况讨论： ①CA=CD 时，则 整理得 ∵C 不与 A 重合，∴m=0 舍去 ∴ ②DA=DC 时，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H，∴AH=HC ∵CD∥y 轴 ∴∠DCA=∠OAB，∴cos∠DCA=cos∠OAB， ∴ 又∵HC= ，∴ ，∴5CH=3CD． AC，∴5AC=6CD 则 整理得 ∵C 不与 A 重合， 解得：m=0 或 解得：m=0 或 ∴m=0 舍去∴ ③AD=AC 时同理得 m=1 综上存在 m 值， 或 或 m=1 使得△ACD 是等腰三角形． 【点睛】 本题考查二次函数综合问题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行于 y 轴的直线上两 点间的距离是较大的纵坐标剪较小的纵坐标得出函数解析式，利用等腰三角形的定义得出 关于 m 的方程，要分类讨论，以防遗漏． 2 .我们定义：如图 1，在 逆时针旋转 到 所在射线， 与 中，两三角形有公共顶点 所在射线逆时针旋转 到 ， 所在射线 所在射线， ，则我们称 与 互为 “旋补比例三角形”． （1）如图 1， 与 互为旋补比例三角形， 时，① ________，② __________ _； （2）如图 2，在 中， 于点 ， 与 互为旋补比例三角形， 延长 至点 ，使 ，连结 （3）如图 3，在 ，求证： 中， 第二象限， ，点 ，抛物线 轴上运动，当点 ，与 ，点 轴交点为 互为旋补比例三角形，点 构成的三角形是以 【答案】（1）① 互为旋补比例三角形； 在 轴的正半轴上， 经过点 按逆时针排列)与 (点 与 在 ， 在抛物线的对称 为腰的等腰三角形时，求点 的坐标． ；② （2）见解析 （3） ， ． 【解析】 【分析】 （1）根据题意直接可得出结论； （2）结合旋补比例三角形的定义，找出 （3）结合题意，分析出 ， 即可； 为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一 线三垂直”构造全等，得出结论． 【详解】 （1）由题意可知： （2） 形， ， ， ， ， ， ， ， ， （3） 和 ， ， ， 与 互为旋补比例三角 ， ， 互为旋补比例三角形． ， ，过 作 轴于点 ， ， 与 ， ， ， 经过 ，对称轴为直线 例三角形， ， ， 与 互为旋补比 ， ， ， 如图，过点 作 于点 ， ，即点 角三角形， 为以点 ， 与点 重合， ，即 为顶点的等腰三角形， 为等腰直 ， ， ① 在 轴上方，如图： 易证： ， ， ， ， ， ② 在 轴下方，如图： 易证： ， ， 综上， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干中 给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查了对二次函数解析式的求解， 以及与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键 的． 交 轴于点 3 .如图，抛物线 经过点 ②若 在直线 轴于点 ，直线 ． （1）求抛物线的解析式． （2）点 是抛物线上一动点，设点 ① 若点 交 的下方，当 是以 的横坐标为 ． 的面积最大时，求 为底的等腰三角形，请直接写出 【答案】（1） ；（2）① 的值； 的值． 的值是-2；② 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可． （2）①由题意得，点 的坐标为 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，则点 的坐标为 ，用 m 来表示 的性质求解即可；②根据 ，可得 的面积，再根据二次函数 ，列式求出 m 的值即可． 【详解】 解：（1）∵直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ． ． ∴ 经过点 ∵抛物线 ， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为 （2）①∵点 ∴点 的横坐标为 的坐标为 如图，过点 作 轴的垂线交直线 ∴ ∴ ， 的面积是 ． 于点 ，则点 的坐标为 的面积最大时， ∴当 ② 的值为 的值是-2． 或 由题可知， ． ， ∴ 解得 ． 【点睛】 本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的性质、待定系数法是解题的关键． 与 轴相交于 4 .如图，抛物线 轴相交于点 ， 是抛物线的顶点，直线 两点（点 位于点 的左侧），与 是抛物线的对称轴，且点 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式． （2）已知 面积为 为线段 上一个动点，过点 作 轴于点 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； ．若 的 ． ①求 与 ②当 取得最值时，求点 的坐标． （3）在（2）的条件下，在线段 请求出点 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？如果存在， 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）① ；②当 时， 取得最大值 ，此时 ；（3）存在，点 的坐标为 或 ． 【解析】 【分析】 （1）点 C 坐标代入解析式可求 c 的值，由对称轴可求 b 的值，即可求解； （2）①先求出点 M，点 A，点 B 的坐标，利用待定系数法可求 BM 解析式，由三角形的 面积公式可求解； ② 利用二次函数的性质可求解； （3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解． 【详解】 （1） 又 抛物线 抛物线与 的对称轴为直线 轴的交点为 ， （2）① 设直线 将 ． 抛物线的解析式为 顶点 的解析式为 ． ． 代入， 得 解得 直线 的解析式为 ． 轴且 ， 的面积 且 故 ． ， 与 之间的函数关系式为 在线段 上， ． ， 时， 点 ， ② 当 ． 没有最小值． 当 时， 取得最大值 ； 综上，当 时， 取得最大值 ，此时 （3）存在． 当 时， 解得 当 （舍去）或 ， ，此时 ． 时， 解得 当 ， （舍去）或 ，此时 时， ． ， ， 解得 或 综上所诉，存在点 ，均不符合题意，舍去． 使 为等腰三角形，点 的坐标为 或 ． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性 质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 5 .如图，直线 y＝﹣x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点，经过 B、C 两点的抛物线 y＝ x2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P． （1）求该抛物线的解析式； （2）当 0＜x＜3 时，在抛物线上求一点 E，使△CBE 的面积有最大值； （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C、P、M 为顶点的三角形为等腰三角形？ 若存在，请写出所符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（ ＝）或（2，﹣1﹣2 ）或（2， ，﹣ ）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2 ） 【解析】 【分析】 （1）用直线表达式求出点 B、C 的坐标，将点 B、C 的坐标代入 y＝x2+bx+c，即可求解； （2）S△CBE＝ HE×OB＝ ×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝ （﹣x2+3x），即可求解； （3）分 CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM 三种情况，分别求解即可． 【详解】 解：（1）y＝﹣x+3，令 y＝0，则 x＝3，令 x＝0，则 y＝3， 故点 B、C 的坐标为（3，0）、（0，3）， 将点 B、C 的坐标代入 y＝x2+bx+c 并解得：b＝﹣4， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3， 令 y＝0，则 x＝1 或 3，故点 A（1，0），点 P（2，﹣1）； （2）过点 E 作 EH∥y 轴交 BC 于点 H， 设点 E（x，x2﹣4x+3），则点 H（x，﹣x+3） S△CBE＝ ∵﹣ HE×OB＝ ＜0，当 x＝ ×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝ 时，S△CBE 有最大值， （﹣x2+3x）， 点 E（ ，﹣ ）； （3）点 C（0，3）、点 P（2，﹣1），设点 M（2，m）， CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1， ① 当 CM＝CP 时，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7 或﹣1（舍去 m＝﹣1）； ② 当 CP＝PM 时，同理可得：m＝﹣1±2 ③ 当 CM＝PM 时，同理可得：m＝ ； ； 故点 M 坐标为：（2，7）或