9.10 单项式与单项式相乘 （基础知识+基本题型） 知识点一 单项式与单项式相乘的法则 1.单项式与单项式相乘的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变， 也作为积的因式. 【注意】（1）积的系数等于各因式系数的积； （2）相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算； （3）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式； （4）单项式乘以单项式的结果仍然是单项式； （5）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用， 2.单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行，如：(2xy2)2·（3x2y）=4x2y4·（-3x2y）= -12x4y5. 考点一 单项式与单项式相乘的法则 5 x 2 y 3 � xyz  ________； ________；（2） 2 2 【例 1】计算：（1） 3ab 2 � 2a b  16 （3） 5 y  4 xy 2    3a b   5a   ________； 2 ________；（4） 4 � 3� 2 2 � 2 3 2 �  �  a b c � 2 4 2  2a b  � � �9 � ________；（6）   a   4a   ________． （5） � 2 � 5 3 4 x y z 16 【答案】 6a 3b 4 20 xy 3 6 15a b 2 5 4 abc 3 16a10 ． 【分析】 根据单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中含有的字母，则连同它的指 数作为积的一个因式，计算即可． 【详解】 （1） 3ab 2 � 2a 2b 2  6a 3b 4 ； 5 5 3 4 2 3 xyz  x y z； （2） x y � 16 16 （3） 5 y  4 xy 2   20 xy 3 ； （4）  3a b   5a   15a b ； 2 4 6 � 3� 2 2 � 2 3 2 � 2 5 4  �  a b c � a b c  2a b  � � �9 � 3 （5） � 2 � ； （6）  a 2   4a 4   16a10 ， 2 2 5 4 5 3 4 故答案为： 6a 3b 4 ； 16 x y z ； 20 xy 3 ；15a 6b ； 3 a b c ； 16a10 ． 【例 2】计算： � 3 3 �� 2 4 � 5ab3 �  a b �� � ab c � � �4 �� 3 �； （1） � 4(a  b) m 1 � 3(a  b) 2 m � �� � �． （2） � 5 5 8 【答案】（1） 2 a b c ；（2） 12(a  b)3m 1 ． 【分析】 （1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法计算法则进行求解即可． 【详解】 � 3 3 �� 2 4 � 5ab3 �  a b �� � ab c � � �4 �� 3 � 解：（1） 3 2  5ab3 � a 3b � ab 4c 4 3  5 5 8 a b c； 2 � 4( a  b)m 1 � 3( a  b) 2 m � �� � � （2） �  4(a  b) m1 � 3(a  b)2 m  12( a  b) 2 m m 1  12( a  b) 3m1 ． 考点二 单项式乘法求字母或代数式的值 【例 3】若  2 xy  2 3 A． m  4 ， n  2 2 1 �  x m y n   2 x 7 y 8 ，则（ 4 B． m  3 ， n  3 ） C． m  2 ， n  1 D． m  3 ， n  1 【答案】C 【分析】 根据积的乘方计算后，再用单项式乘单项式法则计算，最后根据相同字母的指数分别相同列方程求解即可． 【详解】  2 xy  ∵ 2 3 3  2m  7 � 2 1 1 � �  x m y n  8 x 3 y 6 � x 2 m y 2 n  2 x 3 2 m y 6  2 n 6  2n  8 ，解得：m=2，n=1． = ，∴ � 4 4 故选 C． 【例 4】若 5am+1b2 与 3an+2bn 的积是 15a8b4，则 nm＝_____． 【答案】8 【分析】 根据单项式乘单项式的乘法法则计算，然后根据相同字母的指数相等列方程组即可求出 m、n． 【详解】 m 1 2 n2 n m  n 3 2  n b  15a8b 4 ， 解：Q 5a b g3a b  15a mn38 � � 2n  4 ∴� ， m3 � � n2 ， 解方程组得： �  n m  23  8 ， 故答案为：8． 【例 5】先化简，再求值： 7 3 6 【答案】 8 a b ，56  a b 3 3  2 3 �1 2� 1 �  ab � a  ,b  4 ，其中 �2 � 4 【分析】 直接利用整式的混合运算法则计算进而把已知代入得出答案． 【详解】 解：  a 3 b3  2 3 �1 2� �  ab � �2 � 1 3 b 6  a 3b 6 =a � 8 7 3 6 =8a b 当a  1 , b  4 时， 4 3 7 �1 � 6 � ��4 =56． 原式= 8 � �4 � 【例 6】（1）探索：如图 1，在边长为 x 的正方形纸片的 4 个角都剪去 1 个边长是 a 的正方形.试用含 a, x 的 式子表示纸片剩余部分的面积为_______________________； （2）变式：如图 2，在边长为 x 的正方形纸片的 4 个角都剪去一个相同的扇形，扇形的半径为 r ，用 r , x 表 示纸片剩余部分面积为______________________，剩余部分图形的周长为_____________________； （3）拓展：世博会中国国家馆模型的平面图如图 3 所示，其外框是一个大正方形，中间四个全等的小正方 形（阴影部分）是支撑展馆的核心筒，标记字母的五个全等的正方形是展厅，展厅的边长为 m ，已知核心 筒的边长比展厅的边长的一半多 1 米，用含有 m 的式子表示外框的边长 【答案】(1) x 2  4a 2 (2) x 2   r 2， 4 x  8r  2 r (3) 4m  2 【分析】 (1)剩余部分的面积=大正方形的面积-4 个小正方形的面积； (2)利用分割法、周长的定义求解即可； (3)利用线段的和差定义计算即可； 【详解】 解：(1)由题意得： 2 2 剩余部分的面积为 x  4a ， 2 2 故答案为 x  4a ； 2 2 (2) 剩余部分的面积为 x   r ，剩余部分图形的周长为 4 x  8r  2 r ； 2 2 故答案为 x   r ， 4 x  8r  2 r ; 1 (3)外框的边长为 3m  2 �( m  1)  4m  2 ； 2