分数的拓展运算—裂项相消 题型 1 常规型 例题 1. 计算： 1 1 1 1 1 + + + +···+ 1×2 2×3 3×4 4×5 2019×2020 例题 2. 计算： 1 1 1 1 1 + + + + 1×4 4×7 7×10 10×13 13×16 【 练 习 1 】 <2019 彭 浦 初 级 中 学 期 中 1 1 1 1 1 + + + +···+ 2×4 4×6 6×8 8×10 98×100 【练习 2】计算： 5 5 5 5 5 5 + + + + + 2 0×17 17×14 14×11 11×8 8×5 5×2 考 试 > 计 算 : 题型 2 分解型 例题 1. 计算： 例题 2. 计算： 【练习】计算： 1 1 1 1 1 + + + +···+ 2 6 12 20 90 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 3 6 10 15 21 28 36 45 1 1 1 1 1 1 + + + + +···+ 6 10 15 21 28 4950 题型 3 用“1”转换型 例题 1. 计算： 1 5 11 19 29 599 + + + + +···+ 2 6 12 20 30 600 例题 2. 计算： 【练习】计算： 3 7 13 21 31 111 + + + + +···+ 2 6 12 20 30 110 2×3 5×6 8×9 98×99 + + +···+ 1×4 4×7 7×10 97×100 题型 4 三项等差型 例题 1. <民办新世纪期中>计算： 1 1 1 + +··· + 1×2×3 2×3×4 98×99×100 例题 2. <民办新世纪期中>计算： 3 4 100 + +··· + 1×2×3 2×3×4 98×99×100 【练习】.<民办新世纪期中>计算： 4 5 6 11 + + + ···+ 1×2×3 2×3×4 3×4×5 8×9×10 分数的拓展运算—裂项相消（参考答案） 题型 1 常规型 1 1 1 1 1 + + + +···+ 1×2 2×3 3×4 4×5 2019×2020 例题 1. 计算：  1 1  1 2020  2019 2020 1 1 1 1 1 + + + + 1×4 4×7 7×10 10×13 13×16 例题 2. 计算： 11 111 111 1 1 11 111 � � � � � � � � � �  �  �  � �  � �  � � � � � � � � � 31 434 737 1 03 1 0 1 33 1 3 1 6 � � � � � � � � � � 1� 11 1 1 1 1 1 1 1 1 � �      � � 3� 1 4 4 7 71 01 01 31 31 6 �  1 �1 1 � ��  � 3 �1 16 �  5 16 【 练 习 1 】 <2019 彭 浦 初 级 中 学 期 中 考 1 1 1 1 1 + + + +···+ 2×4 4×6 6×8 8×10 98×100 1� 11 1� 11 1� 11 1� 1 1 � � � � �  �  �  L �  � � � � � � � � 2� 24 2� 46 2� 68 2� 9 81 0 0 � � � � 1� 111111 1 1� �     L  � � 2� 244668 9 81 0 0 �  1 �1 1 � ��  � 2 �2 100 �  49 200 5 5 5 5 5 5 + + + + + 2 0×17 17×14 14×11 11×8 8×5 5×2 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 3 × ( 2 −5 + 5 −8 + 8 − 11 + 11 −14 + 14 −17 + 17 −20 ) 【练习 2】 试 > 计 算 : 5 1 1 = 3 × ( 2 −20 ) 3 = 4 题型 2 分解型 例题 1. 计算： 1 1 1 1 1 + + + +···+ 2 6 12 20 90 1 1 1 1 1      L 12 �2 � 33 � 4 45 � 91 � 0 11111 11 1 1  1      L 2 2 3 3 4 4 5 91 0 1 1 10  9 10 例题 2. 计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 3 6 10 15 21 28 36 45 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + 61 22 03 04 25 67 29 0 2 2 2 2 2 2 2 2  + + + + + + + 2 � 33 � 44 � 55 � 66 � 77 � 88 � 99 � 1 0 1 1 1 1 1 1� � 2�    L  � � 2 3 3 4 9 1 0� � 4 4 �5 1 � �1 1 �   2 ��  �  2 ��  �  2 � 5 10 10 1 0 2 10 � � � � 【练习】计算： 1 1 1 1 1 1 + + + + +···+ 6 10 15 21 28 4950 2 2 2 2 2 2  + + + + + L+ 1 22 03 04 25 6 9 9 0 0 2 2 2 2 2 2  + + + + ++ L 3 � 44 � 55 � 66 � 77 � 8 9 9 � 1 0 0 1 1 1 1 1 1 � � 2�    L  � � 3 4 4 5 9 9 1 0 0� � 97 1 � 100 3 � �1 �  2 ��  � 2 ��  � 2 � 3 0 0 3 100 300 300 � � � � 题型 3 用“1”转换型 例题 1. 计算： 1 5 11 19 29 599 + + + + +···+ 2 6 12 20 30 600 −1 −1 −1 −1 −1 −1 )+(1 )+(1 )+(1 )+(1 )+···+(1 2 6 12 20 30 600 ) −1 −1 −1 −1 −1 −1 = (1 1×2 )+(1 2×3 )+(1 3×4 )+(1 4×5 )+(1 5×6 )+···+(1 24×25 ) −1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + − +···+ − = 24 −¿ (1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 24 25 ) −1 =24 −¿ (1 25 ) 1 =23 25 3 7 13 21 31 111 + + + + +···+ 例题 2. 计算： 2 6 12 20 30 110 +1 +1 +1 +1 +1 +1 = (1 )+(1 )+(1 2 6 12 )+(1 20 )+(1 30 )+···+(1 110 ) +1 +1 +1 +1 +1 +1 = (1 1×2 )+(1 2×3 )+(1 3×4 )+(1 4×5 )+(1 5×6 )+···+(1 10×11 ) −1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + − +···+ − = 10 +¿ (1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 10 11 ) −1 =10 +¿ (1 11 ) 10 =10 11 2×3 5×6 8×9 98×99 + + +···+ 【练习】计算： 1×4 4×7 7×10 97×100 = (1 6 30 72 9702  + + +L + 4 28 70 9700 2 2 2 2  1 ++ 1 + + 1 + + L1 + 4 2 8 7 0 9 7 0 0 2 2 2 2  1 + + 1 + + 1 + +1 L+ 14 � 47 �7 � 1 0 9 7 � 1 0 0 2 2 2 2  3 3 + （） + + + L 144771 ��� 0 9 71 � 0 0 1� 1111 1 1 1�  3 3 + 2 � � 1   L   � � 3� 4 4771 0 9 71 0 0 �  33 33 50 题型 4 三项等差型 1 1 1 + +··· + 1×2×3 2×3×4 98×99×100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 × ( 1×2 −2×3 + 2×3 −3×4 + 3×4 −4×5 + ··· + 98×99 − 99×100 ) 1 1 1 × ( − = 2 2 99×100 ) 例题 1. <民办新世纪期中>计算： 1 4949 = 2 × 9900 4949 = 19800 3 4 100 + +··· + 1×2×3 2×3×4 98×99×100 1 1 1 1 1 1 1 = ( 1×2 + 2×3 + 2×3 + 3×4 + 3×4 + 4×5 + ··· + 98×99 ) 1 1 − = 1 99 98 = 99 例题 2. <民办新世纪期中>计算： 4 5 6 11 + + + ···+ 1×2×3 2×3×4 3×4×5 8×9×10 3+1 4+1 5+1 10+1 + + + ···+ = 1×2×3 2×3×4 3×4×5 8×9×10 3 1 4 1 5 1 10 1 + + + + + + ···+ + = 1×2×3 1×2×3 2×3×4 2×3×4 3×4×5 3×4×5 8×9×10 8×9×10 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1×2 + 2×3 + 2×3 + ··· + 8×9 + 1×2×3 + 2×3×4 + 3×4×5 + ···+ 8×9×10 −1 1 1 1 − ) + × ( =(1 9 2 2 9×10 ) 17 = 15 【练习】. <民办新世纪期中>计算： 97  150