2021-2022 学年数学人教版九年级上册第二十一章一元二 次方程题型专题训练（三） 一，选择题 1.若方程  m  2 xm 2 A.2 2  2x  1  0 A.-7 A. C. �2 B.-2 2.已知关于 x 的一元二次方程 3.一元二次方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是( ) x2  5x  m  0 B.7 x  x  2  x  2 x1  x2  0 B. D.3 的一个根是 2，则另一个根是( ) C.3 D.-3 的解是( ) x1  x2  1 C. x1  0 ， x2  2 D. x1  1 ， x2  2 4.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭 赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何？”意思是有一个水池，水面是一个边长为 1 丈的 正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 1 尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点， 它的顶端恰好到达池边的水面（如图所示）.问：水的深度和芦苇的长度分别是多少？备注： 1 1 丈=10 尺，1 尺=  米.设芦苇长 x 尺，则可列方程为( ) 3 A. x 2  102   x  1 2 B.  x  1  52  x 2 2 C. x 2  52   x  1 2 D. x 2  12   x  1 2 5.目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市 2019 年底有 5G 用户 2 万户，计 划到 2021 年底全市 5G 用户数累计达到 8.72 万户.设全市 5G 用户数年平均增长率为 x， 则 x 的值为( ) A.20% B.30% C.40% D.50% 6.若 x1 是方程 ax 2  2 x  c  0  a �0  的一个根，设 M   ax1  1 2 ， N  2  ac ，则 M 与 N 的 大小关系为( ) A. M N B. 7.已知代数式 3 x 与 A.-1 或 3  x 2  3x C. abc 0 D.不能确定 C.1 或 3 ax 2  bx  c  0(a �0) ，则 M N 的值互为相反数，则 x 的值是( ) B.1 或-3 8.已知一元二次方程 ①若 MN b 2  4ac  0 D.-1 或-3 ，下列说法： ； ② 若方程两根为 x  1 和 x  2 ，则 2a  c  0 ； ③ 若方程 ax 2  c  0 有两个不相等的实数根，则方程 ax 2  bx  c  0 必有两个不相等的实数 根； ④ 若 b  2a  c ，则方程有两个不相等的实数根. 其中正确的有( ) A.①②③ B.①②④ 9.如图，在一块宽为 20 m ，长为 C.②③④ 32 m D.①②③④ 的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分 别与矩形的边平行，如图，若使剩余（阴影）部分的面积为 A. 5m 10.若一元二次方程 A.22 B. 3m 4 x 2  12 x  1147  0 B.28 C. 540 m 2 2m 的两根为 a，b，且 C.34 ，则小路的宽应是( ) D. ab ，则 4m 3a  b D.40 的值为( ) 1 1 2   3 ，则 m 11.若  ，  是关于 x 的一元二次方程 x  2 x  m  0 的两实根，且   2 等于( ) A.-2 B.-3 C.2 D.3 n m 12.已知实数 m , n 满足条件 m 2  7 m  2  0, n2  7 n  2  0 ，则  的值是( ) m n A. 45 2 B. 15 2 C. 15 或2 2 D. 45 或2 2 二，填空题 13.如图，某小区在一块长为 16m，宽为 9m 的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其 中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使 得 种 植 花 草 区 域 占 地 面 积 为 120  16  2 x   9  x   120 ；② m2 .设小路的宽度为 x m，则下列方程：① 16 �9  9 �2 x   16  2 x  x  120 ；③ 16 �9  9 �2 x  16 x  x 2  120 . 其中正确的是_________. �1 �2 � m  1�x  x  1  0 14.已知关于 x 的一元二次方程 �4 � 有实数根，则 m 的取值范围是______ __. 15.定义新运算：a，b 是实数，  * a b  a 2 b 1  ，若 m，n 是方程 2x2  x  k  0  k  0 的 两根，则 m * m  n * n  ____________. 16.某学生在解一元二次方程 x2  2 x  0 时，只得出一个根是 x2 ，被他漏掉的另一个根 是 x  _________. 17.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，设有 x 人参加这次聚会， 则可列方程____________. 18.一元二次方程 3x2  4  2 x 19.已知关于 x 的方程 的解是__________. a ( x  m) 2  b  0 （a，b，m 均为常数，且 a �0 ）的两个解是 x1  3 2 � 1 � 4a �x  m � b  0 和 x2  7 ，则方程 � 2 � 的解是____________. 20.如图，在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 和 CD 边向点 D 以 2cm/s 的速度运动，如果点 P，Q 分别从 A，B 同时出发，其中一点到终点时，另一点也随之停止运动 .__________s 时， VPBQ 的面积等于 8 cm 2 . 1 1  21.已知 x1 ， x2 是一元二次方程 x  3x  2  0 的两个实数根，则 3 x1  2 3 x2  2 的值是__ 2 _______. 22.如果关于 x 的方程 m2 x2   m  2  x  1  0 的两个实数根互为倒数，那么 m  __________ _. 23.关于 x 的方程 x 2  2(k  1) x  k 2  1  0 的两个实数根的平方和等于 16，则 k 的值为__ ___________. 24.关于 x 的方程 a( x  m) 2  bx  c  0 的根是 x1  2 ， x2  1 （a ，m，b，c 均为常数 a �0 ），则方程 a( x  m  1) 2  b( x  1)  c 的根是____________. 三，解答题 25.回答下列问题： （1）已知 a 是方程 ① x x 2  3x  1  0 的一个根，求以下代数式的值. 1 1 x2  2 x ；② x . （2）若 m 是方程 x2  x  1  0 的一个根，求代数式 2 （3）若 a 是方程 x  3 x  1  0 的根，则 a 2  3a  m3  2m2  2020 的值. 3a a 2  1 的值是多少？ 26.用指定方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 4( x  1) 2  36  0 x2  2 x  3  0 （直接开平方法）； （配方法）； ( x  1)( x  2)  4 （公式法）； 2( x  1)  x( x  1)  0 （因式分解法）. 27.先阅读下列材料，然后回答问题： 在关于 x 的一元二次方程 ax 2  bx  c  0 中，若各项的系数之和为零，即 c 该方程其中的一个根为 1，另一个根为 a . 证明：设方程的两个根为  b  ( a  c ) . x1 ， x2 Qabc 0 . ， abc 0 时， x  2 b � b 2  4ac (a  c) � (a  c )  4ac (a  c) �(a  c)   2a 2a 2a ，  x1  1 ， x2  c a. （1）若一元二次方程 ax 2  bx  c  0 的各项系数满足 abc 0 ，请求出此时方程的两 个根. （2）已知一元二次方程 (ac  bc ) x 2  (bc  ab) x  (ab  ac )  0 有两个相等的实数根，且满足 1 (ac  bc )  (bc  ab)  (ab  ac)  0 ， abc �0 ，运用上述结论证明： a  1 2   c b.  2 2 2 2 28.解方程 (x  1)  5 x  1  4  0 时，我们可以将 x 2  1 视为一个整体，设 x  1  y ，则 y 2   x 2  1 ，原方程化为 y 2  5 y  4  0 ，解此方程，得 y1  1 ， y2  4 . 2 当 当  y 1 时， y4 x2  1  1 时， ， x2  1  4 原方程的解为 x2  2 x2  5 ， x1   2 ， ， x  � 2 ， x2  . x  � 5 2 ， . x3   5 ， x4  5 . 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想. 运用上述方法解答下列问题： （1） x 4  3x 2  4  0 . 2 2 （2）  x  2 x    x  2 x   6  0 . 2 （ 3） 已知 a ，b， c 是 a 2 RtVABC 的三 边（ c 为斜 边） ，  b 2   21