第九章回顾与反思 教学目标： 知识目标： 1．梳理、归纳本章知识，加深对三角形有关概念和性质的认识和理解。 2．能熟练运用三角形内角和定理及其推论进行有关计算，体会逻辑推理的格式和作用，提 高综合运用知识解决问题的能力。 3．通过对本章教学内容的反思，感受分类思想方法，积累数学活动经验，发展学生的归纳 概括能力。 能力目标： 4．提高学生综合运用知识解决问题的能力 情感目标： 5．渗透由特殊到一般，理论来源于实践的唯物主义思想 6．渗透几何语言，文字语言和图形的和谐美 教学重点： 使学生进一步掌握三角形的边、角、三线的性质，并能用它们进行由简单到复杂的推理或计 算。 教学难点： 使学生将知识条理化、系统化，能正确地、灵活地运用。 学法引导 讨论、练习、点拨辅导法 课时安排 1 课时 教学过程设计 一、知识结构： 三角形 有关概念 三角形及其顶 点、边、角 性质 三边之间的关 系 三角形内角和 定理 主要线段 内角与外角的 关系 三角形的角平 分线、中线、 高 二、知识归纳 本章的主要定理如下： (1)三角形的主要线段角平分线、中线、高 ① 一个三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点，交点都在三角形内，与三角形的 形状无关． ② 三角形的三条高所在的直线也交于一点，但交点的位置与三角形的形状有关：在锐角三 角形中，该交点在三角形内；在直角三角形中，该交点在直角的顶点上；在钝角三角形中，该交 点在三角形外． (2)三角形的边角关系 ① 任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边． ② 内角和等于 180° ③ 一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，大于其中任一个不相邻的内角． （3）尺规作图 用尺规作三角形．用不带刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图．根据全等三角形的判定条件 ， 已知三条边、两边及其夹角、两角及其夹边、两角及任一边，可以确定惟一的一个三角形，从而 可以根据这些条件用尺规作三角形．画出一个三角形，再用尺规作一个和它全等的三角形 （4）添加辅助线 我们在对“三角形的内角和等于 180°”进行说理时，是怎么添加辅助线的？添加这条辅助线的 目的或作用是什么？ 三、注意事项 1．三角形内角的对顶角不是三角形的外角． 2．角的平分线是射线，垂线是直线，而三角形的角平分线和高都是线段． 四、典型例题 例 1：已知一个三角形的一边长为 5，另一边长为 3，求第三边的取值范围。 解：因为 5- 3 < c < 5 + 3，即 2 < c <8 例 2：已知等腰三角形一边长为 8，另一边长为 4，求这个三角形的周长． 解：分腰长为 8，底边长为 8 两种情况分类讨论 例 3：如图所示，已知 ∠ ABC 和 ∠ACB 的平分线 BD 、CE 相交于点 O， ∠ A=50 ° ，求∠BOC 的度数。 解：在 Δ BOC 中， ∠BOC=¿ 1 2 180 ° −（ ∠ 1+∠2 ） 1 2 ∵ ∠1= ∠ ABC ，∠2= ∠ACB （角平分线定义） 1 2 ∴ ∠ 1+∠ 2= （ ∠ ABC+∠ACB ） 在 Δ ABC中， ∠ ABC +∠ACB=180 ° −∠ A=130° ∴ ∠1+∠2=65 ° ∴ ∠BOC=180 ° − （∠1 +∠ 2）=115 ° 例 4：如图在△ABC 中，若 AD 是 BC 边上的中线，且 BD = AC = 1 2 AB =5，求△ABC 的周长。 A B D C 解：∵在△ABC 中，若 AD 是 BC 边上的中线，且 BD = AC = ∴2BD = 2DC = BC = 10 AB = 10 又∵△ABC 的周长 = AB+BC+AC 1 2 AB =5 ∴△ABC 的周长为 25 例 5：如图所示，在 Δ ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 平分 ∠ BAC ， ∠B=75 ° ， ∠ C=45 ° 求 ∠DAE 与 ∠AEC 的度数。 A D B E C 证明：∵ ∠ B +∠C +∠ BAC=180° , ∠ B=75 ° ,∠C=45° ∴ ∠ BAC=180 °− ∠B − ∠ C=60° 又∵AE 平分 ∠ BAC , 1 2 ∴ ∠ BAE =∠CAE= ∠BAC=30 ° （角平分线定义） 又∵AD 是 BC 边上的高，∴ ∠ ADB=90° （高的定义） ∴ ∠BAD=180 ° −90 ° −∠ B=15 ° 又∵ ∠ AEC 是Δ AEB的外角 ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝30°－15°＝15° ∴∠AEC＝∠BAE＋∠ABE＝30°＋75°＝105° 例 6 ： 如 图 ， 已 知 AD 、 AE 分 别 为 △ ABC 的 中 线 、 高 线 ， 已 知 ： BC=6cm ， AE=4cm ， 求 S△ABC，S△ABD． A B D E 解：∵BC=6cm，AE=4cm，AE 为△ABC 的高线 1 ∴S△ABC = 2 BC �AE = 12cm 又∵AD 为△ABC 的中线 C ∴BD=3cm 1 BD �AE ∴S△ABD = 2 =6cm 例 7：若三角形三个内角的度数比是 1：2：3 求三角形的三个内角度数。 解：设三角形最小的内角度数是 x，则根据三角形内角和定理得 x + 2x +3x = x= 180 ° 30 ° 30 ° = 60 ° ，3 所以 2 30 ° = 90 ° 三角形的三个内角的度数分别为 30 ° ， 60 ° ， 90 ° 例 8：如图 ∠ B = ∠ C = ∠ BAD，AD AC,求 ∠ ADC 的度数。 A B D 解：∵ ∠ CAB+ ∠ B+ ∠ C = ∵AD C 180 ° （三角形内角和定理） AC（已知） ∴ ∠ CAB = 90 ° + ∠ BAD ∴ ∠ B+ ∠ C+ ∠ BAD+ 90 ° = 又∵ ∠ B = ∴ ∠ B= 180 ° （等量代换） ∠ C = ∠ BAD（已知） ∠ C = ∠ BAD = 30 ° ∵ ∠ ADC = ∠ B+ ∠ BAD（三角形外角的性质） ∴ ∠ ADC = 60 ° 1 例 9：一个多边形的外角和是内角和的 5 ，则这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形为 n 边形 则有 （n-2） 180 ° � 1 360 ° 5 = n = 12 板书设计： 回顾与反思 知识图表 知识回顾 例题 练习