浙江省宁波市中考数学高频题型（六） 函数应用题 【中考真题】 1.（2017·浙江宁波·23）2017 年 5 月 14 日至 15 日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举 行．本届论坛期间，中国同 30 多个国家签署经贸合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品 共 8 万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知 2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售收入相 同，3 件甲种商品比 2 件乙种商品的销售收入多 1500 元． (1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？ (2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于 5400 万元，则至少销售甲种商品多少万件？ 【答案】（1）解：设甲种商品的销售单价是 χ 元，乙种商品的销售单击是 y 元. 根 据 题 意 解 ， 得 得 ： 答 ： 甲 种 商 品 的 销 售 单 价 是 900 元 ， 乙 种 商 品 的 销 售 单 价 是 600 元 . （ 2 ） 解 ： 设 销 售 甲 产 品 a 万 件 ， 则 销 售 乙 产 品 （ 8-a ） 万 件 . 根 据 题 意 ， 解 得 得 ， 900a+600(8-a)≥5400 ： a≥2. 答 ： 至 少 销 售 甲 产 品 2 万 件 2.（2019·浙江宁波·24）某景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出 发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计），第一班车上午 8 点出 发，以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该景区游玩，上午 7:40 到达入 口，因还没到发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行 25 分钟后到达塔林，离入 口的路程 y（米）与时间 x（分钟）的函数关系式如图 2 所示. （1）求第一班车离入口处的路程 y（米）与时间 x（分钟）的函数表达式； （2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间； （3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果 他做这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班 车速度均相同，小聪步行速度不变） 3.（2019·浙江宁波·22）A，B 两地相距 200 千米．早上 8：00 货车甲从 A 地出发将一批物 资运往 B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与 B 地联系．B 地收到消息后立即派 货车乙从 B 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了 18 分钟将物资从货车 甲搬运到货车乙上，随后开往 B 地．两辆货车离开各自出发地的路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计） （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 y 关于 x 的函数表达式． （2）因实际需要，要求货车乙到达 B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 B 地的 时间最多晚 1 个小时，问货车乙返回 B 地的速度至少为每小时多少千米？ 【分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式； （2）根据图中的信息求出乙返回 B 地所需的时间，由题意可列出不等式 1.6v≥120，解 不等式即可得出答案． 解：（1）设函数表达式为 y＝kx+b（k≠0）， 把（1.6，0），（2.6，80）代入 y＝kx+b，得 解得： ， ， ∴y 关于 x 的函数表达式为 y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）； （2）当 y＝200﹣80＝120 时， 120＝80x﹣128， 解得 x＝3.1， 货车甲正常到达 B 地的时间为 200÷50＝4（小时）， 18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时）， 设货车乙返回 B 地的车速为 v 千米/小时， ∴1.6v≥120， 解得 v≥75． 答：货车乙返回 B 地的车速至少为 75 千米/小时． 【解题指导 】 遇到二次函数应用题不要慌！！！题目都仔细，没理解就半句半句理解，特别 是题中出现的字母 x,y,w 等各表示什么要圈出来，有图时要先看横坐标、总坐标 各表示什么含义。写函数关系时，先考虑公式，用字母代入，再带式子，不容 易出错。此类题一定要多练，多得分呀！！！（操心的邱老师如是说到） 【牛刀小试 】 1．某公司主要生产和销售 A 产品，每件产品的成本为 200 元，销售单价为 260 元， 顾客一次购买 A 产品不超过 10 件，每件售价 260 为元；若一次购买 A 型产品多于 10 件，则每多一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 2 元，但销售单价均不低于 224 元． （1）顾客一次购买 A 产品多少件时，销售单价恰好为 224 元？ （2）某次交易中，小张一次性购买 A 产品 x 件，公司盈利 792 元，求本次交易中， 小张购买产品的件数． （3）进入冬季，公司举行“情系山区，共送温暖”的公益促销活动，活动规定：在原定 价规则上每件均优惠 5 元，若一次购买 A 型产品不超过 10 件，则每售出一件产品公司 捐款 5 元；若一次购买 A 型产品超过 10 件，则每售出一件产品公司捐款 a 元，此外再 一次性捐款 100 元，受活动影响，每位顾客购买件数 x 均满足 10  x �17 ，为达到当 顾客一次购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润就越大的效果，求 a 的取 值范围． 【详解】 （1）设商家一次购买该产品 x 件时，销售单价恰好为 224 元． 260  2( x  10)  224 解得： x  28 ， ， 故顾客一次购买 A 产品 28 件时，销售单价恰好为 224 元． （2）∵ ∴ x  10 792  (260  200) �10 ， 根据题意得： 解得： ， [260  2( x  10)  200]x  792 x1  22 ， x2  18 ， ， ∴本次交易中小张购买产品的件数是 22 件或 18 件． （3）设公司获利为 y，则 y  [260  2( x  10)  5  a  200]x  100 即 y  2 x  (75  a ) x  100 ，对称轴 2 x ， 75  a 75  a  4 4 ， ∵顾客一次购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润越大， 75  a �17 ∴ 4 ，解得： a �7 ， ∴a 的取值范围为： 0 �a �7 ． 2．2020 年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月 （按 30 天计）前 5 天的某型号口罩销售价格 p q x （元/只）和销量 （只）与第 天的关 系如下表： 第x天 1 2 3 4 5 销售价格 p （元/只） 2 3 4 5 6 q 销量 （只） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元/只， 该药店从第 6 天起将该型号口罩的价格调整为 1 元/只．据统计，该药店从第 6 天起销 q 量 （只）与第 x 天的关系为 q  2 x 2  80 x  200 （ 6 �x �30 ，且 x 为整数），已知 该型号口罩的进货价格为 0.5 元/只． （1） 直接写出 该药店该月前 5 天的销售价格 p 与 x 和销量 q 与 x 之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润 W x （元）与 的函数关系式，并判断第 几天的利润最大； （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中 获得的正常利润之外的非法所得部分处以 m 倍的罚款，若罚款金额不低于 2000 元， 则 m 的取值范围为______． 【详解】 （1）观察表格发现 p 是 x 的一次函数，q 是 x 的一次函数， 设 p=k1x+b1， 2  k1  b1 � � 将 x=1，p=2；x=2，p=3 分别代入得： 3  2k  b ， 1 1 � k1  1 � � 解得： b  1 ， �1 所以 p  x 1 ， 经验证 p=x+1 符合题意， 所以 p  x  1 1≤≤ x 5 ， 且 x 为整数； 设 q=k2x+b2， 70  k2  b2 � � 将 x=1，q=70；x=2，q=75 分别代入得： 75  2k  b ， 2 2 � k2  5 � � 解得： b  65 ， �2 所以 q  5 x  65 经验证 所以 ， q  5 x  65 q  5 x  65 ， 符合题意， 1≤≤ x 5 且 x 为整数； x 5 且 x 为整数时， （2）当 1≤≤ W  ( x  1  0.5)(5 x  65)  5x 2  当 135 65 x 2 2 ； 6 �x �30 且 x 为整数时， W  (1  0.5)  2 x 2  80 x  200    x 2  40 x  100 ； 65 � 2 135 5x  x  , 1�x�5且为整数 x � W � 2 2 即有 ； �  x 2  40 x  100, 6�x�30且为整数 x � x 5 且 x 为整数时，售价，销量均随 x 的增大而增大， 当 1≤≤ 故当 x  5 时， W最大  495 （元） 当 6 �x �30 且 x 为整数时， W最大  300 故当 x = 20 时， 由 495  300 W   x 2  40 x  100   ( x  20) 2  300 （元）； ，可知第 5 天时利润最大． （3）根据题意， 前 5 天的销售数量为： q  70  75  80  85  90  400 （只）， ∴前 5 天多赚的利润为： W  (2 �70  3 �75  4 �80  5 �85  6 �90)  1�400  1650  400  1250 ∴ 1250m �2000 （元）， ， 8 m� ∴ 5； 8 m� ∴ m 的取值范围为 5． 3．在篮球比赛中，东东投出的球在点 A 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部 分（如图 1 所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点 B． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当球运动到点 C 时被东东抢到，CD⊥x 轴于点 D，CD＝2.6m． ① 求 OD 的长． ②