考点 18 尺规作图与定义、命题、定理 本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查,是广大考生的得分点，分值为 6 分左右。预计 2021 年各地中考还将继续考查这两个知识点，重要题型有尺规作图的五种基本作法和与其他几何知识结合考查， 为避免丢分，学生应扎实掌握。 一、尺规作图 1．尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 2．五种基本作图 1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平 分线；5）过一点作已知直线的垂线． 3．根据基本作图作三角形 1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形； 3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形； 5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形． 4．与圆有关的尺规作图 1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；2）作三角形的内切圆． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型． 6．作图题的一般步骤 （1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论． 其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹. 二、尺规作图的方法 1．尺规作图的关键 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题． 2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形 1 / 67 求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如 作直角三角形就先作一个直角． 三、定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的 部分是结论． 二、真命题、假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 三、逆命题 1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命 题． 2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条 件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命 题． 3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论． 4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题． 四、公理与定理 1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据， 这样的真命题叫做公理． 2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为 判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据． 4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论． 五、互逆命题 2 / 67 1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一 个定理叫做另一个定理的逆定理． 2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理． 3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是 互逆定理． 六、反证法 1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假 设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定 义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确． 考向一 基本作图 1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图． 2．基本作图有五种：1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线； 4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线． 1．（2020·陕西中考真题）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在 AC 边上求作一 点 P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】详见解析 3 / 67 【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在 AC 边上求作一点 P，使∠PBC＝45°即可． 【详解】解：如图，点 P 即为所求． 作法：（1）以点 C 为圆心，以任意长为半径画弧交 AC 于 D，交 BC 于 E， （2）以点 B 为圆心，以 CD 长为半径画弧，交 BC 于 F， （3）以点 F 为圆心，以 DE 长为半径画弧，交前弧于点 M， （3）连接 BM，并延长 BM 与 AC 交于点 P，则点 P 即为所求． 【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法． 2．（2020·湖北襄阳市·中考真题）如图， 论错误的是（ A． DB  DE Rt VABC 中， �ABC  90� ，根据尺规作图的痕迹判断以下结 ） B． AB  AE C． �EDC  �BAC D． �DAC  �C 【答案】D 【分析】由尺规作图可知 AD 是∠CAB 角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD 是∠CAB 角平分线，DE⊥AC， 4 / 67 � �AED  �ABD =90o � �EAD  �BAD 在△AED 和△ABD 中：∵ � ，∴△AED≌△ABD(AAS)， �AD  AD � ∴DB=DE，AB=AE，选项 A、B 都正确， 又在 Rt△EDC 中，∠EDC=90°-∠C，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°-∠C，∴∠EDC=∠BAC，选项 C 正确， 选项 D，题目中缺少条件证明，故选项 D 错误．故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 1 AB 3．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知线段 AB，分别以 A，B 为圆心，大于 2 同样长为半径 画弧，两弧交于点 C，D，连接 AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ A．AB 平分∠CAD B．CD 平分∠ACB C．AB⊥CD ） D．AB=CD 【答案】D 【分析】根据作图判断出四边形 ACBD 是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的 对角线互相垂直平分可得出答案 【详解】解：由作图知 AC=AD=BC=BD，∴四边形 ACBD 是菱形， ∴AB 平分∠CAD、CD 平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断 AB=CD，选：D． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与 性质． 1．（2020·湖南湘西·中考真题）已知 �AOB ，作 �AOB 的平分线 OM ，在射线 OM 上截取线段 OC ， 5 / 67 1 OC 分别以 O、C 为圆心，大于 2 的长为半径画弧，两弧相交于 E，F．画直线 EF ，分别交 OA 于 D，交 OB 于 G．那么， A．锐角三角形 VODG 一定是（ ） B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】根据题意知 EF 垂直平分 OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到 OD=OG 得到答案. 【详解】如图，连接 CD、CG， 1 OC ∵分别以 O、C 为圆心，大于 2 的长为半径画弧，两弧相交于 E，F∴EF 垂直平分 OC， 设 EF 交 OC 于点 N，∴∠ONE=∠ONF=90°，∵OM 平分 �AOB ，∴∠NOD=∠NOG， 又∵ON=ON，∴△OMD≌△ONG，∴OD=OG，∴△ODG 是等腰三角形，故选：C. 【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定 定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到 EF 垂直平分 OC 是解题的关键. 2．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，已知 AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出 BD=（ ） 6 / 67 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可． 【详解】由作图痕迹可知 AD 为∠BAC 的角平分线，而 AB=AC， 由等腰三角形的三线合一知 D 为 BC 重点， BD=3，故选 B 【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质. 3．（2020·河北中考真题）如图 1，已知 第一步：以 B a �ABC ，用尺规作它的角平分线．如图 2，步骤如下， 为圆心，以 为半径画弧，分别交射线 第二步：分别以 D ， E BA ， b 为圆心，以 为半径画弧，两弧在 C． a 有最小限制， b 无限制 B． a  0 ， D． a �0 ， 于点 �ABC 第三步：画射线 BP ．射线 BP 即为所求．下列正确的是（ A． a ， b 均无限制 BC D ， E ； 内部交于点 P ； ） b 1 DE 的长 2 b 1 DE 的长 2 【答案】B 7 / 67 【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论． 【详解】第一步：以 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线 BA ， BC 于点 D ， E ；∴ a0 ； 1 DE 第二步：分别以 D ， E 为圆心，大于 2 的长为半径画弧，两弧在 �ABC 内部交于点 P ； ∴ b 1 1 DE b  DE 的长；第三步：画射线 BP ．射线 BP 即为所求．综上，答案为： a  0 ； 的长， 2 2 故选：B． 【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法． 考向二 复杂作图 利用五种基本作图作较复杂图形． 1．（2020·福建中考真题）如图， （1）求作四边形 ABCD ，使得 C 为线段 CD / / AB AB ，且 外一点． CD  2 AB ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕