专题 5.5 简单的轴对称图形-等腰三角形（基础篇） （专项练习） 一、单选题 类型一、等腰三角形的定义 1．已知等腰三角形的两边长分别为 5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．12cm 或者 9cm D．12cm 2．已知一个等腰三角形的两边长分别是 4，5，则它的周长是（ A．13 B．14 C．13 或 14 3．若（a-2)²+|b-4|=0，则以 a、b 为边的等腰三角形的周长为（ A．6 B．8 ） D．9 或 12 ） D．8 或 10 C．10 类型二、尺规作图——等腰三角形 4．如图，在 VABC 中， AB  AC , �A  50�，根据作图痕迹，可知 �CBD  （ A． 80� B． 60� C． 45� ） D． 50� 5．如图，给出线段 a ， h ，作等腰 ABC ，使 AB  AC  a ， BC 边上的高 AD  h . 嘉嘉的作法是：①作线段 AD  h ；②作线段 AD 的垂线 MN ；③以点 A 为圆心， a 为半径 作弧，与 MN 分别交于点 B ， C ；④连接 AB ， AC ， ABC 为所求作的等腰三角形.上述 作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 6．如图，直线 a∥b，以直线 a 上的点 A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线 a、b 于点 B、C，连接 AC、BC．若∠ABC＝65°，则∠1＝（　　） A．115° B．80° C．65° D．50° 类型三、等角对等边证明等腰三角形 7．如图，已知 △△ABC ≌ 正确的是（ DCB ， AB  10 ， �A  60�， �ABC  80�，那么下列结论中 ） A． �D  60� B． �DBC  50� C． �ACD  60� D． BE  10 8．如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点 D 的对应点为点 F , CF 与 AB 交于点 E，若长方形 ABCD 的周长为 16，则 △ CBE 的周长为（ ） A．8 B．16 C．32 D．4 9．如图，△ABC 中，∠A＝∠ABE，CD 平分∠BCE，且 CD⊥BE 于点 D，AC＝5，BC ＝3，则 DE 的长为（ A．1 ） B．1.5 C．2 D．2.5 类型四、等腰三角形的三线合一 10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上的动点（点 D 与 B，C 不重合）， △ABD 和△ACD 的面积分别是 （ S1 和 S2 ，下列条件不能说明 AD 是△ABC 角平分线的是 ） A．DB＝CD B． �ADB  �ADC C． S1 =S2 1 D． AD  2 AC 11．如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 边中点，则下列结论不正确的是（ ） A．B＝C B．AD⊥BC C．BAD＝CAD D．AB＝2BC 12．如图，在 VABC 中， �ACB  90�， AC  BC  2 ，D 是 AB 的中点，点 E 在 AC 上， 点 F 在 BC 上，且 AE  CF ．给出以下三个结论：（1） DE  DF ；（2） VDEF 是等腰直 角三角形：（3）S 四边形 CEDF  A．3 个 1 S△ ABC ．其中正确的有（ 2 B．2 个 C．1 个 ） D．0 个 二、填空题 类型一、等腰三角形的定义 13．顶角为 80°的等腰三角形的底角为______°． 14．已知等腰△ABC 中，一边长为 4，周长是 10，则腰长为______． 15．如图，△ABC 是等腰三角形，O 是底边 BC 上任意一点，过 O 作 OE⊥AB 于 E，作 OF⊥AC 于 F，若 OE＋OF＝3，△ABC 的面积为 12，则 AB＝_____________． 类型二、尺规作图——等腰三角形 16．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图 1，已知 �AOB ．判断 �AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图 2，在 OA 、 OB 上分别取点 C ， D ，以点 C 为圆心， CD 长为半径画弧，交 OB 的反向延长线于点 E ．若 OE =OD ，则 �AOB  90� ．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：_________ _____． 17．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点 B 为圆心，BC 长为半径画 弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则∠ACD 的度数是__________． 18．如图，在长方形 ABCD 中， AB  2 ， AD  3 ， E 是折线 A  D  C 上的一个动点， 点 P 是点 A 关于直线 BE 的对称点，在点 E 的运动过程中，使 PBC 是等腰三角形的共有__ ________个． 类型三、等角对等边证明等腰三角形 19．如图，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 F，过 F 作 DE∥BC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，BD＝3cm，EC＝2cm，则 DE＝_____cm． 20．如图，在 ABC 中， AC  81 ， �A  �ABD ， BCD 的周长为 150，则 BC  _____ ___． 21．在三角形 ABC 中，已知 �A  70�， �B  40�，那么 VABC 的形状是__________． 类型四、等腰三角形的三线合一 22．如图，在 ABC 中， �BAC  60�， D 为 AB 上一点．若 CB  CD ， AD  2 ， BD  4 ，则 AC 的长为________． 23．如图，等边三角形 ABC 的边 BC 上的高为 6， AD 是 BC 边上的中线，M 是线段 AD 上的-一个动点，E 是 AC 中点，则 EM  CM 的最小值为_________． 24．如图，已知 AE＝BE，DE 是 AB 的垂线，F 为 DE 上一点，BF＝10cm，CF＝ 3cm，则 AC＝_______cm． 三、解答题 25．如图，△ABC 中． （1）尺规作图：在直线 BC 上求作一点 P，使△APC 是以 AC 为底边的等腰三角形 （不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠C＝60°，∠B＝90°，AC＝6，求 BP 的长． 26．如图，已知 ABC 中， D 是 BC 的中点， DE  AB 于 E ， DF  AC 于 F ，且 BE  CF ．猜想 AB 与 AC 的数量关系，并证明你的结论． 27．如图，在 ABC 中， AB  AC ，点 D 是 BC 边的中点，点 E 在 AD 上． 求证： ABE ≌ ACE ． 28．如图，在 VABC 中， AB  BC ， BE  AC 于点 E ， AD  BC 于点 D ， �BAD  45�， AD 与 BE 交于点 F ，连接 CF ．试说明： BF  2 AE ． 1 1 29．如图，在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，CD= 2 BC，AB=AC．求证：∠1= 2 ∠BAC． 30．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 AC 上一点，DE⊥AB，垂足为 E， 且 BE＝BC，BD 与 CE 相交于 F，求证：EF＝CF． 参考答案 1．D 【分析】 由等腰三角形的两边长分别为 5cm 和 2cm，分别从若 2cm 为腰长，5cm 为底边长与若 2cm 为底边长，5cm 为腰长去分析求解即可求得答案． 解：若 2cm 为腰长，5cm 为底边长， ∵2+2=4＜5，不能组成三角形， ∴不合题意，舍去； 若 2cm 为底边长，5cm 为腰长， 则此三角形的周长为：2+5+5=12cm． 故选 D． 【点拨】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌 握分类讨论思想的应用． 2．C 【分析】 等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：当腰长为 5，底边长为 4 时；当 腰长为 4，底边长为 5 时，分别计算三角形周长即可． 解：等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论： 当腰长为 5，底边长为 4 时，周长为： 2 �5  4  14 ； 当腰长为 4，底边长为 5 时，周长为： 2 �4  5  13 ； 故选：C． 【点拨】题目主要考查等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论是解题关键． 3．C 【分析】 先根据非负数的性质求出 a、b 的值，然后讨论以 a 为边是等腰三角形的腰和底边时， 结合构成三角形的条件求解即可． 解：∵ ∴ ∴  a  2 2  b4  0 a2 0 a2 ， ， ， b4 0 b4  a  2 2 �0 ， b  4 �0 ， ， ， 当以 a 为边是等腰三角形的腰时，此时三边长分别为 2、2、4 不能构成三角形，不符 合题意； 当以 a 为边是等腰三角形的底边时，此时三边长分别为 2、4、4 能构成三角形，符合 题意， ∴三角形的周长=2+4+4=10， 故选 C． 【点拨】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟 知相关知识是解题的关键． 4．D 【分析】 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出． 解：∵AB=AC， 1 ABC �=� ACB �=�(180 ∴ �а 2 A) 1 (180 2 50 ) 65 ． 由作图痕迹可知 BC=BD， BDC = BCD =65 ． ∴ �а ��180 а�BDC �� BCD =180 ∴ �CBD 65 65 50 ． 故选 D． 【点拨】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出 BC=BD 是解答本题的关键． 5．B 【分析】 利用基本作图（过已知直线上一点作直线的垂线）可判断②错误． 解：有错误的一步是②，应该为过 D 点作 MN⊥AD． 故选 B． 【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形 的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 6．D 【分析】 首先由题意可得：AB＝AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB 的度数，又由