考点 02 整式及因式分解 以考查整式的加减、乘法、幂的运算、因式分解为主。也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点， 分值为 12 分左右，预计 2021 年各地中考还将继续考查幂的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值， 为避免丢分，学生应扎实掌握. 一、代数式 代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等. 二、整式 1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次 数，数字因数叫做单项式的系数. 1 4 a 2b 注：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 ，这种表示就 3 13 2 ab 3 2 是错误的，应写成 3 ；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如 5a b c 是  6 次单项式。 2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式 的次数，其中不含字母的项叫做常数项. 3．整式：单项式和多项式统称为整式. 4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项. 5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an= a m n . 1 / 45 7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里 含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc. （3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb. 8．乘法公式：（1）平方差公式： (a �b) 2  a 2 �2ab  b 2 (a  b)(a  b)  a 2  b 2 . （2）完全平方公式： . 9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除 式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单 项式，再把所得的商相加. 三、因式分解 1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算. 2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法： （2）公式法：运用平方差公式： ma  mb  mc  m(a  b  c ) a ²²( b  )(a  b ) a  b . .运用完全平方公式： a ²2� ab  b 2 ( a � )b 2 . 3．分解因式的一般步骤： （1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式; （2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： 为两项时，考虑平方差公式； 为三项时，考虑完全平方公式； 为四项时，考虑利用分组的方法进行分解; （3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止. 以上步骤可以概括为“一提二套三检查”. 考向一代数式及相关问题 2 / 45 1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式. 2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值. 1．（2020·吉林长春·中考真题）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张 30 元，儿童票每张 15 元．若购买 m 张成人票和 n 张儿童票，则共需花费___________元． 【答案】  30m  15n  【分析】根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可． 【解析】解：根据单价×数量=总价得，共需花费  30m  15n  元，故答案为：  30m  15n  ． 【点睛】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项 式且后面带单位时，代数式要加括号． 2．（2020·山东潍坊·中考真题）若 A．4 m 2  2m  1 B．3 ，则 4m 2  8m  3 C．2 的值是（ ） D．1 【答案】D 2 4(m  2m)  3 【分析】把所求代数式 4m  8m  3 变形为 ，然后把条件整体代入求值即可． 2 2 2 4(m  2m)  3 =4×1-3=1．故选：D． 【解析】∵ m  2m  1 ，∴ 4m  8m  3 = 2 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式 4(m 2  2m)  3 4m 2  8m  3 变形为 ． 1．（2020·四川成都·中考真题）已知 a  7  3b ，则代数式 a 2  6ab  9b 2 的值为_________． 【答案】49 【分析】先将条件的式子转换成 a+3b=7，再平方即可求出代数式的值． 3 / 45 2 2 2 【解析】解：∵ a  7  3b ，∴ a  3b  7 ，∴ a  6ab  9b   a  3b   7  49 ，故答案为：49． 2 【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 2．（2020·江苏泰州·中考真题）点 P  a, b  在函数 y  3x  2 的图像上，则代数式 6a  2b  1 的值等于（ ） A． 5 B． 3 C． 3 D． 1 【答案】C 【分析】把 P  a, b  代入函数解析式得 b  3a  2 ，化简得 3a  b  2 ，化简所求代数式即可得到结果； 【解析】把 P  a, b  代入函数解析式 y  3 x  2 得： b  3a  2 ，化简得到： 3a  b  2 ， ∴ 6a  2b  1=2  3a  b   1=2 � 2   1=-3 ．故选：C． 【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子 是解题的关键． 3．（2020·湖南长沙·中考真题）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给 A，B，C 三个 同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤： 第一步，A 同学拿出三张扑克牌给 B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给 B 同学； 第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给 A 同学， 请你确定，最终 B 同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________． 【答案】 9 【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案． 【解析】设每个同学的扑克牌的数量都是 x ； 第一步，A 同学的扑克牌的数量是 第二步，B 同学的扑克牌的数量是 x 3 ，B 同学的扑克牌的数量是 x  33 x3 ，C 同学的扑克牌的数量是 ； x 3 ； 4 / 45 第三步，A 同学的扑克牌的数量是 2( x 3 ∴B 同学手中剩余的扑克牌的数量是： )，B 同学的扑克牌的数量是 x 33 x 3  9 ( ) x 33 x 3 ( )； 9 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模 型．根据运算提示，找出相应的等量关系． 考向二整式及其相关概念 单项式与多项式统称整式. 观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同 ， 相同字母的指数是否相同． 多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数 是否相同． 考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常 数的次数是 0. 1．（2020·四川绵阳·中考真题）若多项式 xy| m- n| + (n - 2) x 2 y 2 +1 是关于 x，y 的三次多项式，则 mn  _____． 【答案】0 或 8 【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． Q 【解析】解： n  2  0 ， m  n  2 多项式 xy| m- n| + (n - 2) x 2 y 2 +1 1+ | m - n |= 3 或 n- m = 2 n  2 ， m  4 ， 或 ， x 是关于 ， | m - n |= 2 m0 ， y 的三次多项式， ， \ mn = 0 或 8．故答案为：0 或 8． 【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 5 / 45 1 3 2 ab 1．（2019·山东淄博·中考真题）单项式 2 的次数是_____． 【答案】5. 【分析】根据单项式次数的意义即可得到答案. 1 3 2 ab 【解析】单项式 2 的次数是 3  2  5 .故答案为 5． 【点睛】本题考查单项式次数的意义，解题的关键是熟练掌握单项式次数的意义. 2．（2019·湖南株洲·中考真题）下列各式中，与 A． 2x 是同类项的是（　　） 1  x2 y3 C． 2 3 2 B． 3x y 5 3x 2 y 3 1  y5 D． 3 【答案】C 【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可． 【解析】解：A. 2x5 与 3x 2 y 3 不是同类项，故本选项错误；B.3x3y2 与 3x 2 y3 不是同类项，故本选项错误； 1 1  x2 y3  y5 2 3 2 3 3x y C. 2 与 是同类项，故本选项正确；D. 3 与 3x y 不是同类项，故本选项错误；故选：C． 【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义． 1．（2020·湖北荆州·）若单项式 2xm y3 与 3xy m  n 是同类项，则 2m  n 的值是_______________． 【答案】2 【分析】先根据同类项的定义求出 m 与 n 的值，再代入计算算术平方根即可得． m 1 m 1 � � � � 【解析】由同类项的定义得： m  n  3 解得 n  2 则 2m  n  2 �1  2  4