专题 10：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之中位线 一、单选题 1．如图，在菱形 ABCD 中，边长 AB=4，∠A=60°，E、F 为边 BC、CD 的中点，作菱形 CEGF，则图中 阴影部分的面积为（ A．16 ） B．12 2．平面直角坐标系内一点 A．  3, 2  B． P  2, 3  2,3 C．8 3 D．6 3 关于原点对称点的坐标是（ ） C．  2, 3 D．  2, 3 二、填空题 3．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是 AC 延长线上的一点，AD＝24，点 E 是 BC 上一点， BE＝10，连接 DE，M、N 分别是 AB、DE 的中点，则 MN＝____． 4．梯形 ABCD 中，点 E，F，G 分别是 BD，AC，DC 的中点，已知：两底差是 3，两腰的和是 6，则 △EFG 的周长是______________． 5．如图，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则 ∠ADC 的度数为________． 6．如图，将 BC  6cm Rt ABC ,设 A' B ' 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°到 的中点是 M ,连接 AM ，则 A ' B ' C AM  _____ cm 的位置，已知斜边 AB  10cm , ． 7．如图，在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=OB，E 为 AC 上一点，BE 平分 ∠ABO，EF⊥BC 于点 F，∠CAD=45°，EF 交 BD 于点 P，BP= 5 ，则 BC 的长为_______． 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E，点 F 分别是边 BC，边 CD 上的动点，且 BE＝CF，AE 与 BF 相 交于点 P．若点 M 为边 BC 的中点，点 N 为边 CD 上任意一点，则 MN+PN 的最小值等于_____． 三、解答题 9．如图，在四边形 BC ABCD 的延长线交于点 10．如图所示， H ABC 、 中， G 中， AD  BC ，求证： ， E 、 F 分别是边 �AHF  �BGF �B  2�A ， CD  AB 于 DC 、 AB 的中点， FE 的延长线分别 ． D ， E 为 AB 的中点，求证： 11．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是线段 AB 延长线上一动点，连结 CE． BC  2 DE . AD 、 （1）如图 1，过点 C 作 CF⊥CE 交线段 DA 于点 F． ① 求证：CF=CE； ② 若 BE=m（0＜m＜4），用含 m 的代数式表示线段 EF 的长； （2）在（1）的条件下，设线段 EF 的中点为 M，探索线段 BM 与 AF 的数量关系，并用等式表示． （3）如图 2，在线段 CE 上取点 P 使 CP=2，连结 AP，取线段 AP 的中点 Q，连结 BQ，求线段 BQ 的最小 值． 12．如图，在菱形 EF  3BE ． ABCD 中， �ABC  60� ，点 E 、 F 分别为边 BC 、 DC 的中点，连接 EF ，求证： 参考答案 1．D 【解析】 【分析】 构造辅助线，求得 Sn ECF  BG ， CG 的长，利用三角形中位线定理证得 n ECF ~ n BCD 1 Sn BCD  3 ，从而求得阴影部分的面积． 4 【详解】 设菱形 ABCD 的对角线相交于 G， ∵AB=4，∠A=60°， ∴AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠C =60°， ∴ n BCD 为边长为 4 的等边三角形， � BD  BC  4 ∴∠DCG=∠BCG=30 ， ， ∴ BG  1 BC  2 ， CG  3BG  2 3 ， AC  2CG  4 3 ， 2 ,求得 ∴ Sn BCD  1 1 BD n CG  4 3 S菱形ABCD  AC n BD  8 3 ， ， 2 2 ∵E、F 为边 BC、CD 的中点， 1 ∴EF∥BD，EF= 2 BD=2， ∴ ∴ ∴ n ECF ~ n BCD Sn ECF  , 1 Sn BCD  3 ， 4 S阴影  S菱形ABCD  2 Sn ECF  8 3  2 3  6 3 ． 故选：D． 【点评】 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的面积，三角形中位的性质，相似三角形的判定 和性质等知识，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键，也是本题的突破点． 2．D 【解析】 【分析】 根据“平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横 纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】 解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点 A（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选 D． 【点评】 本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征. 3．13 【解析】 【分析】 连接 BD，取 BD 的中点 F，连接 MF、NF，由中位线定理可得 NF、MF 的长度，再根据勾股定理求出 MN 的长度即可． 【详解】 连接 BD，取 BD 的中点 F，连接 MF、NF，如图所示 ∵M、N、F 分别是 AB、DE、BD 的中点 ∴NF、MF 分别是△BDE、△ABD 的中位线 ∴ ∵ NF //BE , MF //AD, NF  1 1 BE  5, MF  AD  12 2 2 �ACB  90� ∴ AD  BC ∵ ∴ ∵ ∴ MF //AD MF  BC NF //BE NF  MF 在 Rt△ MNF 中，由勾股定理得 MN  NF 2  MF 2  52  122  13 故答案为：13． 【点评】 本题考查了三角形中位线的问题，掌握中位线定理、勾股定理是解题的关键． 9 4． 2 【解析】 【分析】 连接 AE，并延长交 CD 于 K，利用“AAS”证得△AEB≌△KED，得到 DK=AB，可知 EF，EG、FG 分别为 △AKC、△BDC 和△ACD 的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得 EF+FG+EG，可求得答案． 【详解】 连接 AE，并延长交 CD 于 K， ∵AB∥CD， ∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK， ∵点 E、F、G 分别是 BD、AC、DC 的中点． ∴BE=DE， 在△AEB 和△KED 中， ��BAE  �DKE � �ABD  �EDK ， � � BE  DE � ∴△AEB≌△KED（AAS）， ∴DK=AB，AE=EK，EF 为△ACK 的中位线， 1 1 1 ∴EF= 2 CK= 2 (DC-DK) = 2 (DC-AB)， ∵EG 为△BCD 的中位线， 1 ∴EG= 2 BC， 又 FG 为△ACD 的中位线， 1 ∴FG= 2 AD， 1 ∴EG+GF= 2 (AD+BC)， ∵两腰和是 6，即 AD+BC=6，两底差是 3，即 DC-AB=3， 3 ∴EG+GF=3，FE= 2 ， 3 9 ∴△EFG 的周长是 3+ 2 = 2 ． 9 故答案为： 2 ． 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，作出常用辅助线，构造全等三角形是解题的 关键． 5．135° 【解析】 【分析】 连接 BD，根据三角形中位线定理得到 EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°， 计算即可． 【详解】 解：连接 BD， ∵E、F 分别是边 AB、AD 的中点，EF＝2， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝4， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， 又∵BC＝5，CD＝3， ∴BD2+CD2＝25，BC2＝25， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°， 故答案为：135°． 【点评】 本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键． 6． 41 【解析】 【分析】 作 MH⊥AC 于 H，根据垂直平分线的性质可得 HM 的大小，又因为 B′H=3，HM=4；计算可得 AH 的值， 根据勾股定理可得 AM 的大小． 【详解】 作 MH⊥AC 于 H， 1 因为 M 为 A′B′的中点，故 HM= 2 A′C， 1 1 又因为 A′C=AC= 10  6 =8，则 HM= 2 A′C= 2 ×8=4，B′H=3， 2 2 又因为 AB′=8-6=2，所以 AH=3+2=5， 2 2 AM= 5  4 = 41 cm． 故答案为： 41 ． 【点评】 根据图形的翻折不变性，结合勾股定理和中位线定理解答． 7．4 【解析】 【分析】 1 1 过点 E 作 EM∥AD，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点 E 是 AO 的中点，可证得 EM= 2 AD= 2 BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得 BF=EF=FC= 1 1 2 BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则 EP=FP= 2 FC，在 Rt△BFP 中，利用勾股定理可求得 x， 即得答案． 【详解】 过点 E 作 EM∥AD，交 BD 于 M，设 EM=x， ∵AB=OB，BE 平分∠ABO， ∴△ABO 是等腰三角形，点 E 是 AO 的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°， ∴EM 是△AOD 的中位线， 又∵ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=2EM=2x， ∵EF⊥BC， ∠CAD=45°，AD∥BC， ∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°， ∴△EFC 为等腰直角三角形， ∴EF=FC，∠FEC=45°， ∴∠BEF=90°-∠FEC=45°， 则△BEF 为等腰直角三角形， 1 ∴BF=EF=FC= 2 BC=x， ∵EM∥BF， ∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF， 则△BFP≌△MEP（ASA）， 1 1 1 ∴EP=FP= 2 EF= 2 FC= 2 x， ∴在 Rt△BFP 中， BP 2 