二次函数 复习题（4） 一、选择题 1. 一个二次函数的图象的顶点坐标 ， ，与 轴的交点坐标是 ， ，这 个二次函数的解析式是( ) 2. A. B. C. D. −mx+ m 二次函数 y=(m+ 1) x −2 m− 3 的的图像经过原点，则 m 的值为( ) A. −1 和 3 3. 已知二次函数 B. −1 D. 1 和 −3 C. 3 m 是常数 ¿ ，把该函数的图象沿 y 轴平移 2 y=x − 2 mx+m + 3 ¿ 2 后，得到的函数图象与 x 轴只有一个公共点，则应把该函数的图象 () A. 向上平移 3 个单位 C. 向上平移 1 个单位 4. B. 向下平移 3 个单位 D. 向下平移 1 个单位 ¿ 2 长方形的周长为 24 cm，其中一边为 x ¿ 其中 x> 0 ¿ cm ，面积为 yc m ， ¿ 则这样的长方形中 y 与 x 的关系可以写为 ¿ y=24 x − x 2 A. B. y=12 x 2 C. ¿ y=12 x − x 2 D. y=24 x −2 x 2 2 5. 5. 把二次函数 y=− x2 + 4 x − 2 用配方法化成 x − h ¿ + k 的形式 ¿¿ y=a ¿ ¿ 2 A. x − 2¿ +2 y=− ¿ C. x+ 2¿ + 4 y=− ¿ 2 B. x − 2¿ + 4 y=¿ D. x+ 2¿ +3 y=−¿ 2 6. 根据下面表格中的对应值： 2 3.23 3.24 3.25 3.26 −0.06 −0.02 0.03 0.09 x 2 a x + bx+ c a ≠0, a，b，c 为常数 ¿ 的一个解 x 的范围是 () a x + bx+ c=0 ¿ 判断方程 2 A. 3< x <3.23 C. 3.24< x <3.25 7. B. 3.23< x <3.24 D. 3.25< x <3.26 图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水 平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 2 x − 80 ¿ + 16 AC ⊥ x 轴，若 1 y=− ¿ ，桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面，有 400 OA=10 米，则桥面离水面的高度 AC 为 ( ) 9 A. 16 40 米 8. 已知二次函数 17 4 米 B. 7 C. 16 40 米 D. 15 4 米 m ¿ ，当 −1 ≤ x ≤2 时，函数值 y 的最 y=x − 2 mx ¿ 为常数 2 小值为 −2 ，则 m 的值是 A. 3 2 B. ❑ √2 C. 3 2 或 ❑ √2 3 D. − 2 或 ❑ √2 9. 2 在二次函数 y=− x +2 x+ 1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范 围是 () A. x< 1 x> 1 B. 2 C. x< −1 D. x> −1 10. 如图，二次函数 y=a x +bx +c (a ≠ 0) 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交 于点 C，且 OA=OC . 则下列结论： ① abc <0 ； ② c b2 −4 ac >0 ； ③ ac −b+1=0 ； ④ OA ⋅OB=− a ． 4a 其中正确结论的个数是 () A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 2 11. 若二次函数 y=x +bx 的图像的对称轴是经过点 (2,0) 且平行于 y 轴的直线， 2 则关于 x 的方程 x + bx=5 的解为　 　。 2 12. 11. 已知二次函数 x − 2¿ +3 ，当 x 时，y 随 x 的增大而减小． y =¿ 2 13. 如图，二次函数 y=a x +bx +c (a ≠ 0) 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于点 C，点 B 坐标是 (−1,0) ，对称轴为直线 x=1 ，下面的四个结论： ① 9 a+ 3 b+c=0 ； ② a+ b>0 ； ③ ac >0 ； ④ b 2 − 4 ac >0. 其中正 确的结论序号是 ． 2 x − 3¿ − 4 的最小值为　　． 14. 二次函数 y=2 ¿ 2 15. 抛物线 y=2 x − bx+3 的对称轴是直线 x=1 ，则 b 的值为________． ¿ 16. 已知抛物线 与 轴交于 A、B 两点，若点 A 坐为 ¿ ¿ ，抛物线的对称轴为直线 ，则线段 AB 的长为 ， ． 2 17. 将抛物线 y=− x 先向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位后所得抛物线的 解析式为________． 2 18. 已知 (−3, y 1) ， (4, y 2) ， (−1, y 3) 是二次函数 y=x − 4 x 上的点， 则 y 1 ， y 2 ， y 3 从小到大用“ ¿ ”排列是______． 三、解答题 19. 怡然美食店的 A、B 两种菜品，每份成本均为 14 元，售价分别为 20 元、18 元，这 两种菜品每天的营业额共为 1120 元，总利润为 280 元． (1) 该店每天卖出这两种菜品共多少份？ (2) 该店为了增加利润，准备降低 A 种菜品的售价，同时提高 B 种菜品的售价， 售卖时发现，A 种菜品售价每降 0.5 元可多卖 1 份；B 种菜品售价每提高 0.5 元就少卖 1 份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总 利润最多是多少？ 20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 8m，宽是 2m，抛物线 可以用 y=− 1 2 x +4 表示． 4 (1) 一辆货运卡车高 4m，宽 2m，它能通过该隧道吗 ⊕ (2) 如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过 ⊕ 21. 如图，已知抛物线 ❑ y=a x +bx+12 与 X 轴交于 A.B 两点，过点 A 的直线 l 与抛 物线交于点 C，其中 A ❑ 点的坐标是(2,0)，C 点 2 坐标是(8,12) (1) 求抛物线的解析式； (2) 若点 E 是 (1) 中抛物线上的一个动点，且 位于直线 AC 的下方，试求 △ ACE 的最大面积及 E❑ 点的坐标． 2 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x +bx +c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左则，B 点的坐标为 (3,0) ，与 y 轴交于 C( 0,− 3) 点， 点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点。 (1) 求这个二次函数的表达式； (2) 连结 PO、PC，在同一平面内把 △ POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP ′ C ，那么是否存在点 P，使四边形 POP ′ C 为菱形？若存在，请求出 此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大，并求出此时 P 点的 坐标和四边形 ABPC 的最大面积． 答案和解析 1.B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.B 11. x 1=−1 ， x 2=5 12. ¿ 2 2 16.8 17. y=− x +6 x −11 13. ①②④ 14. − 4 15.4 18. y 2 < y 3< y 1 19.解： (1) 设该店每天卖出 A、B 两种菜品分别为 x、y 份， 根据题意得， 解得： { 20 x +18 y=1120 (20 −14) x+(18 −14 ) y=280 ， {x=20 y=40 ， 20+40=60 ， 答：该店每天卖出这两种菜品共 60 份； (2) 设 A 种菜品售价降 0.5 a 元，即每天卖 (20+a) 份，总利润为 w 元． 因为两种菜品每天销售总份数不变，所以 B 种菜品卖 (40 − a) 份，每份售价提高 0.5 a 元． w=(20− 14 −0.5 a)(20+ a)+(18 −14 +0.5 a)(40 − a) ¿(6 − 0.5 a)(20+a)+(4 +0.5 a)(40 − a) ¿(− 0.5 a2 −4 a+120)+(− 0.5 a2 +16 a+160) 2 ¿ −a +12 a+ 280 a −6 ¿ 2+316 ¿− ¿ 因为 −1<0 ， 所以当 a=6 ，w 最大， w=316 ． 答：这两种菜品每天的总利润最多是 316 元． 1 2 20. (1) 把 x=1 代入解析式得： y=− 4 × 1 + 4=3.75 ， 3.75+2=5.75> 4 ， ∴ 能通过； (2)∵ 一辆货运卡车高 4m，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是 8m，宽是 2m，把 x=2 代入解析式得： y=− 1 2 × 2 + 4=3 ， 4 3+2=5> 4 ， ∴ 能通过． 2 21.解： (1) ∵ 抛物线 y=a x +bx +12 经过点 A (2,0) ，点 C(8,12) ， { ∴ 4 a+ 2b +12=0 ， 64 a+ 8 b+12=12 解得 {a=−1 b=− 8 ， 2 所以，抛物线的解析式为 y=x − 8 x+12 ； (2)∵ 点 A、B 关于对称轴对称， ∴ 点 D 为 AC 与对称轴的交点时 △ BCD 的周长最小， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+ b(k ≠ 0) ， 则 + b=0 {82kk+b=12 解得 k=2 {b=− 4 ， ， 所以，直线 AC 的解析式为 y=2 x − 4 ， 如图，设过点 E 与直线 AC 平行线的直线为 y=2 x+ m ， 联立 { y=2 x +m ， y=x 2 − 8 x +12 2 消掉 y 得， x −10 x +12− m=0 ， 2 −10 ¿ − 4 ×1 ×(12− m)=0 ， △ =¿ 解得： m=−13 ， 即 m=−13 时，点 E 到 AC 的距离最大， △ ACE 的面积最大， 此时 x=5 ， y=25 −13=−3 ， ∴ 点 E 的坐标为 (5,− 3) ， 设过点 E 的直线与 x 轴交点为 F，则 F( ∴ AF= 13 ,0) ， 2 13 9 − 2= ， 2 2 ∵ 直线 AC 的解析式为 y=2 x − 4 ， ∴∠CAB=45 ° ， 9 ❑ 2 9❑ 2 ∴ 点 F 到 AC