专题 5.20 二元一次方程（组）与一次函数（知识讲解） 【学习目标】 1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联 系. 2. 在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化的思想． 【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次方程的关系 一次函数 y  kx  b （ k ≠0， b 为常数）.当函数 y ＝0 时，就得到了一元一次方程 kx  b  0 ，此时自变量 x 的值就是方程 kx  b ＝0 的解.所以解一元一次方程就可以转化 为 ： 当 某 一 个 一 次 函 数 的 值 为 0 时 ， 求 相 应 的 自 变 量 的 值 . 　　从图象上看，这相当于已知直线 y  kx  b （ k ≠0， b 为常数），确定它与 x 轴交点 . 的 横 坐 标 的 值 要点二、一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解 方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的 角 度 看 ， 解 方 程 组 相 当 于 确 定 两 条 直 线 交 点 的 坐 标 . 特 别 说 明 ： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中， 两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组 的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点 .如一次函数 y  2 x  4 与 y 3 13 图象的交点为(3，－2)，则 x 2 2 �y  2 x  4 � 13 的解. 就是二元一次方程组 � 3 y  x � � 2 2 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点， 则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程 组就无解.如二元一次方程组 无解，则一次函数 y  3x  5 与 y  3x  1 的图 . 象 就 平 行 ， 反 之 也 成 立 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合， 反之也成立. 要点三、待定系数法求一次函数的解析式 第 一 步 （ 设 ） ： 设 出 函 数 的 一 般 形 式 。 （ 称 一 次 函 数 通 式 ） 第 二 步 （ 代 ） ： 代 入 解 析 式 得 出 方 程 或 方 程 组 。 第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数 k，b 的值。 第四步（写）：写出该函数的解析式。 要点四、方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它 的解的个数． 【典型例题】 类型一、两直线的交点与二元一次方程组的解 1、如图，已知直线 y=kx+b 经过点 A(5,0),B(1，4). （1）求直线 AB 的解析式；（2）若直线 y=2x-4 与直线 AB 相交于点 C，求点 C 的 坐标. 【答案】 (1) y   x  5 (2)  3, 2  【分析】 (1)利用待定系数法即可求得函数的解析式； (2)解两个函数解析式组成方程组即可求解； 解：(1)根据题意得： k  1 5k  b  0 � � � � �k  b  4 ，解得 �b  5 ， 则直线 AB 的解析式是 y   x  5 ； (2)根据题意得： �y   x  5 �x  3 � � �y  2 x  4 ，解得： �y  2 ， 则 C 的坐标是  3, 2  ； 【点拨】本题考查一次函数用待定系数法求解析式以及交点的求法. 举一反三： 【变式 1】已知直线 y＝2x 与 y＝－x＋b 的交点坐标为(1，a)，试确定方程组 2x  y  0 � � �x  y  b  0 的解和 a、b 的值． �x  1 � 【答案】 �y  2 解：∵直线 y  2 x 过点（1，a），∴a=2， ∴交点坐标为（1，2）， ∵ y  x  b 过（1，2）， ∴2=﹣1+b，解得：b=3， 2x  y  0 � �x  1 � � ∴方程组 �x  y  b  0 的解为 �y  2 ， �x  1 � 故答案为 �y  2 ． 考点：一次函数与二元一次方程（组）． 【变式 2】如图，直线 l1：y＝x＋1 与直线 l2：y＝mx＋n 相交于点 P(1，b)． (1)求 b 的值； (2)不解关于 x，y 的方程组请你直接写出它的解． �x  1 � 【答案】(1)2(2) �y  2 解：试题分析：(1)、将点 P 的坐标代入 y=x+1 即可得出答案；(2)、两个函数的交点坐 标就是以这两个一次函数所组成的二元一次方程组的解． 试题解析：(1)、∵(1，b)在直线 y＝x＋1 上，∴当 x＝1 时，b＝1＋1＝2. (2)、∵直线 l1：y＝x＋1 与直线 l2：y＝mx＋n 相交于点 P(1，b)， �x  y  1  0 �x  1 � � mx  y  n  0 的解是 �y  2 ． ∴方程组 � 点睛：本题主要考查的就是一次函数的交点与二元一次方程组的关系，属于简单题型． 解决这种问题的时候，我们首先根据待定系数法求出两个一次函数的解析式，然后将解析 式写成方程的形式，两个方程所形成的方程组的解就是两个函数的交点．如果两个一次函 数的解析式不明确时，如果交点坐标已知，那么方程组的解也是可以求出的． 【变式 3】如图，已知直线 y1   1 3 x  1 与 x 轴交于点 A，与直线 y2   x 交于点 2 2 B． （1）求点 A、B 两点的坐标； （2）直接写出 y1＞y2 时 x 的取值范围． 3 （-1 ，） ;（2）当 y1＞y2 时，x＞-1. 【答案】（1）A（2，0）, B 2 【分析】 (1)根据直线与 x 轴的坐标的特点，将 y=0，代入解析式，即可求得点 A 的坐标；联立 两条直线解析式组成方程组，求得方程组的解，即可得到点 B 的坐标； (2)由点 B 的坐标可知 y1＞y2 时，x>-1. 解：(1)由 y1=- 1 x+1，可知当 y=0 时，x=2， 2 ∴点 A 的坐标是(2，0)， 1 � y   x 1 � �x  1 � 2 � ∵y1=- x+1 与 y2=− x 交于点 B， � ，解得 � 3 1 3 �y   3 x y � � 2 � 2 2 2 ∴B 点的坐标是(-1， 3 )； 2 (2) 由点 B 的坐标可知 y1＞y2 时，x>-1. 3 3 故答案为：(1)A(2，0)，B(-1， 2 )；(2) 2 ；(3)x>-1. 【点拨】本题考查两条直线的交点，解决此题时，明确二元一次方程组与一次函数的 关系是解决此类问题的关键． 类型二、图象法解二元一次方程组 2、已知二元一次方程 x  y  5 ，通过列举将方程的解写成下列表格的形式： x -1 m 5 2 5 6 y 6 5 5 2 0 n 如果将二元一次方程的解所包含的未知数 x 的值对应直角坐标系中一个点的横坐标， 未知数 y 的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐 �x  2 � 标系中的一个点，例如：方程 x  y  5 的解 �y  3 的对应点是  2,3 ． （1）表格中的 m  ________， n  ___________； （2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点 的坐标，并在所给的直角坐标系中画出这五个点；根据这些点猜想方程 x y 5 的解的 对应点所组成的图形是_________，并写出它的两个特征①__________，②____________ _； （3）若点 P  2a, a  1 恰好落在 x y 5 的解对应的点组成的图形上，求 a 的值． 【答案】（1）0，-1；（2）见解析；（3）-6． 【分析】 （1）根据题意，将 m 和 n 代入方程即可得解； （2）将每个对应点的坐标在直角坐标系中进行描点，即可得出图形，然后观察其特征 即可； （3）将点 P 代入即可得出 a 的值. 解：（1）根据表格，得 m  5  5 ， 6  n  5 ∴m=0，n=-1； （2）如图所示，即为所求： 该图形是一条直线； ① 经过第一、二、四象限；②与 y 轴交于点（0，5）（答案不唯一）； （3）把 x=﹣2a，y= a-1 代入方程 x+y＝5 中，得 -2a+（a-1）=5， 解之，得 a=-6． 【点拨】此题主要考查二元一次方程和平面直角坐标系综合运用，熟练掌握，即可解 题. 举一反三： �x  2 y  4 � 2x  y  3 . 【变式 1】用图像法解二元一次方程组 � �x  2 � 【答案】 �y  1 . 【分析】 由题意将二元一次方程组变形为一次函数，两个函数图像的交点即为二元一次方程组 的解. 解：由 x  2 y  4 ，可得 y  0.5 x  2 ， 由 2 x  y  3 ，可得 y  2 x  3 ， 由此作图直线 y  0.5x  2 和 y  2 x  3 的交点即为二元一次方程组的解， �x  2 � 所以二元一次方程组的解为 �y  1 . 【点拨】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握利用图像法解二元一次方程组的方法 是解题的关键. 【变式 2】用图象法解下列二元一次方程组： x y4  0 { （1） 2 x  y  1  0 2x  y  2  0 { （2） x  2 y  6  0 ． �x  1 x2 { � 【答案】（1） �y  3 ；（2） y  2 【解析】 【分析】 先把各个方程化成一次函数的形式，再作出对应的函数图象，即可得到结果. 解：（1）由 x  y  4  0 得 y   x  4 ， 由 2x  y  1  0 得 y  2x  1 ， 如图，在同一直角坐标系中，画出一次函数 y   x  4 和 y 