浙江省宁波市中考数学高频题型（四） 与新定义结合的四边形综合问题 【中考真题】 1.（2017·浙江宁波·26）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形 ． (1)如图 1，在半对角四边形 ABCD 中，∠B＝ 之 ∠D，∠C＝ ∠A，求∠B 与∠C 的度数 和 ； (2)如图 2，锐角△ABC 内接于⊙O，若边 AB 上存在一点 D，使得 BD＝BO．∠OBA 的 平分线交 OA 于点 E，连结 DE 并延长交 AC 于点 F，∠AFE＝2∠EAF ．求证：四边形 是 DBCF 半 对 角 四 边 形 ； (3)如图 3，在（2）的条件下，过点 D 作 DG⊥OB 于点 H，交 BC 于点 G．当 DH＝BG 时 ， 求 △ BGH 与 △ ABC 的 面 积 之 比 ． 【 答 案 】 （ 1 ） 解 ： 在 半 对 角 四 边 形 ABCD 中 ， ∠ B= ∠D ， ∠ C= ∠A. ∵∠A+∠B+ ∠C+ ∠D=360° ， ∴3∠B+3 ∠C=360°. ∴∠B+∠C=120°. （ 2 即 ∠ B ） 证 明 与 ： ∠ 在 C 的 △ BED 度 数 和 之 △ 和 120°. 中 BEO ， . ∴△BED≌△BEO （ ） SAS . ∴∠BDE= ∠BOE. 又 如 ∵ 下 设 ∠ ∠ 图 ， ∠BOE. ∴∠BCF= ∠BDE. 连 则 EAF= . BCF= 结 ∠ OC. AFE=2∠EAF=2 . ∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2 . ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA= . ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2 . ∴∠ABC= ∴ （ 四 ） 3 ∵ 解 四 边 形 ： 如 边 形 DBCF 下 图 DBCF 是 ， 是 半 作 半 对 过 点 对 角 ∠AOC= 四 边 OM⊥BC 于 角 四 边 ∠EFC. 形 . 点 M. 形 ， ∴∠ABC+∠ACB=120°. ∴∠BAC=60°. ∴∠BOC=2 ∠BAC=120°. ∵OB=OC ∴∠OBC= ∠OCB=30°. ∴BC=2BM= BO= BD. ∵DG⊥OB, ∴∠HGB= ∠BAC=60°. ∵∠DBG= ∠CBA, ∴△DBG ∴ ∵DH=BG,BG=2HG. ∴DG=3HG. ∴ = ∴ = △CBA. = 2 = . . 2.（2019·浙江宁波·26）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个 角的夹边称为邻余线. （1）如图 1，在△ABC 中，AB=AC,AD 是△ABC 的角平分线，E,F 分别是 BD,AD 上的 点，求证：四边形 ABEF 是邻余四边形. （2）如图 2，在 5×4 的方格纸中，A,B 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF，使得 AB 是邻余线，E,F 在格点上. （3）如图 3，在（1）的条件下，取 EF 中点 M，连接 DM 并延长交 AB 于点 Q，延长 EF 交 AC 于点 N，若 N 为 AC 的中点，DE=2BE,QB=3，求邻余线 AB 的长. 解答： （ 1 ） ∴AD⊥BC ∠FAB ∵ ， AB=AC ∴ 与 ∠ ， AD 是 △ ADB=90° ， EBA ∠ ABC ∴ 的 ∠ 互 角 平 分 线 DAB+∠DBA=90° 余 ， ， ， ∴ 四 2 边 形 ） 如 图 边 形 ） ∵ AB=AC （ 四 （ 3 ∴BD=CD ∵DE=2BE ∴BD=CD=3BE ∴CE=CD+DE=5BE ∵∠EDF=90° ， 点 ∴DM=ME ∴∠MDE=∠MED ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴△DBQ∽△ECN， ∴ M 是 邻 余 四 边 形 示 （ 答 案 不 唯 一 ） AFEB 为 所 求 AD 是 △ ABC 的 角 平 分 线 ， ， ， ， EF 的 中 点 ， ， ， ， ABEF 所 ， 是 ； ， ； ， ， QB BD 3 = = NC CE 5 ∵ QB = 3 ，∴ NC = 5 ∵ AC = 2CN = 10 ∴AB = AC = 10 【解题指导】四边形与新定义结合的综合题常常位于压轴题位置，难度较大，第（ 1）和 第（2）小问通常建立在所学知识的背景下，结合给定的新定义可得出，第（3）问综合性 较强，要求学生能够结合实际情境，经历建立模型、解决问题的过程，不仅仅掌握所学知 识，更要求具有将各知识点关联起来，进一步理解有关知识，加以迁移与应用的能力。 【牛刀小试】 1.有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图 1，在半对角四边形 之和； 中， ， ，求 与 的度数 (2)如图 2，锐角 平分线交 于点 内接于 ，连结 ，若边 并延长交 上存在一点 于点 ，使得 ， ， 的 .求证：四边形 是半对角四边形； (3)如图 3，在(2)的条件下，过点 求 与 作 于点 ，交 于点 ，当 的面积之比. 解答： 1 1 (1)在半对角四边形 ABCD 中,∠B= 2 ∠D,∠C= 2 ∠A， ∵∠A+ ∠B+ ∠C+∠D=360 ∘， ∴3 ∠B+3 ∠C=360 ∘， ∴∠B+∠C=120∘,即∠B 与∠C 的度数和为 120∘； (2) 证明：∵在△BED 和△BEO 中，BD=BO，∠EBD=∠EBO，BE=BE， ∴△BED≌△BEO(SAS)， ∴∠BDE=∠BOE. 1 ∵∠BCF= 2 ∠BOE， 1 ∴∠BCF= 2 ∠BDE， 时， 连接 OC， 设∠EAF=α，则∠AFE=2∠EAF=2α， ∴∠EFC=180∘−∠AFE=180∘−2α， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=α， ∴∠AOC=180∘−∠OAC−∠OCA=180∘−2α， 1 1 ∴∠ABC= 2 ∠AOC= 2 ∠EFC， ∴四边形 DBCF 是半对角四边形； (3)过点 O 作 OM⊥BC 于 M， ∵四边形 DBCF 是半对角四边形， ∴∠ABC+∠ACB=120∘， ∴∠BAC=60∘, ∴∠BOC=2∠BAC=120∘， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=30∘， ∵DG⊥OB， ∴BH= 3 2 BG= 3 2 2 在直角△BDH 中,利用勾股定理得到：BD= DH + BH = ∴BO=BD= 7 ∴⊙O 的直径是 2 7 . 2 2 + ( 3 )2 = 7 2.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”．请写 出你添加的一个条件． （2）问题探究 ① 小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由． ② 如图 2，小红画了一个 Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将 Rt△ABC 沿 ∠ABC 的平分线 BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结 AA＇，BC＇．小红要是平移 后的四边形 ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段 BB＇的长）？ （3）应用拓展 如图 3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD 为对角线， AC= AB．试探究 BC，CD，BD 的数量关系． 解答： (1)AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB(任写一个即可)； (2)① 正确,理由为： ∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个“等邻边四边形”是菱形； ②∵∠ABC=90∘，AB=2，BC=1， ∴AC= 5 ， ∵将 Rt△ABC 平移得到△A′B′C′， ∴BB′=AA′,A′B′∥AB,A′B′=AB=2,B′C′=BC=1,A′C′=AC= 5 , (I)如图 1,当 AA′=AB 时,BB′=AA′=AB=2； (II)如图 2,当 AA′=A′C′时,BB′=AA′=A′C′= 5 (III)当 A′C′=BC′= 5 时， 如图 3,延长 C′B′交 AB 于点 D,则 C′B′⊥AB， ∵BB′平分∠ABC， 1 ∴∠ABB′= 2 ∠ABC=45∘， ∴∠BB′D=′∠ABB′=45∘ ∴B'D=BD， 设 B′D=BD=x， 则 C′D=x+1,BB′= 2 x， ∵在 Rt△BC′D 中,BD2+(C′D)2=(BC′)2 ∴x2+(x+1)2=( 5 )2， 解得：x1=1,x2=−2(不合题意,舍去)， ∴BB′= 2 x= 2 (Ⅳ)当 BC′=AB=2 时,如图 4,与(Ⅲ)方法一同理可得：BD2+(C′D)2=(BC′)2， 设 B′D=BD=x, 则 x2+(x+1)2=22， 解得：x1=−1+7 ∴BB′= 2 x= 2 ,x2=−1−7 2 (不合题意,舍去)， 14 - 2 2 (3)BC,CD,BD 的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图 5， ∵AB=AD， ∴将△ADC 绕点 A 旋转到△ABF,连接 CF, ∴△ABF≌△ADC， ∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD， ∴∠BAD=∠CAF,ACAF=ADAB=1， ∴△ACF∽△ABD， CF AC = = 2 ∴ BD ,∴CF= 2 BD， AB ∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360∘， ∴∠ABC+∠ADC−360∘−(∠BAD+∠BCD)=360∘−90∘=270∘， ∴∠ABC+∠ABF=270∘， ∴∠CBF=90∘， ∴BC2+FB2=CF2=( 2 BD)2=2BD2， ∴BC2+CD2=2BD2. 3．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形． （1）如图 1，四边形 ABCD 中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，∠ACD＝∠ADC＝80°，求 证：四边形 ABCD 是邻和四边形． （2）如图 2，是由 50 个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已 知 A，B，C 三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点 D，使得以 A，B，C，D 为顶点的四边形为邻和四边形． （3）如图 3，△