专题 20 圆 一、圆的有关性质 二、与圆有关的位置关系 三、正多边形和圆 圆的有关性质 1.圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条．圆是中心对称图形，圆心是对称中心， 又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合． 2.垂径定理 ① 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧． ② 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图所示： 3.弧、弦、圆心角之间的关系 ① 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； ② 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 4.圆周角定理及推论 ① 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． ② 圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 设点与圆心的距离为 d ，圆的半径为 r ， 则点在圆外 � d  r ； 点在圆上 � d  r ； 点在圆内 � d  r ． ② 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 一个三角形有且只有一个外接圆． ③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点． 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． 2.直线与圆的位置关系 ① 设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表． ① 设圆心到直线 l 的距离为 d ，圆的半径为 r ， 则直线与圆相离 � d  r ；直线与圆相切 � d  r ；直线与圆相交 � d  r 3.圆与圆的位置关系 在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面 5 种位置关系，其中 R、r 为两圆半径(R≥r)．d 为圆心 距． ① 圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含． 设两圆心的距离为 d ，两圆的半径为 两圆外切 两圆相交 两圆内切 r1、r2 ，则两圆外离 � d  r1  r2 � d  r1  r2 � r1  r2  d  r1  r2 � d  r1  r2 � d  r r 1 2 两圆内含 ② 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴． 由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆相交，连心线垂直平分公共弦． ③ 两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线． 两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线． 两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线． ④ 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长． 正多边形和圆 1.正多边形的有关概念 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫正多边形的中心．外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半 径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多 360° 边形的每一个中心角都等于 n ． 2.正多边形的性质 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆．正多边形都是轴对称图形，偶数条 边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长(半径或边心 距)之比． 3.正多边形的有关计算 定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形． 正 n 边形的边长 a、边心距 r、周长 P 和面积 S 的计算归结为直角三角形的计算． an  360° 180° 180° an  2 R gsin rn  R gcos n ， n ， n ， 2 �a � 1 1 R  r  �n � S n  an grn gn  Pn grn P  n g a �2 �， n n ， 2 2 ． 2 2 n 专项练习 一、单选题 1．下列命题中，真命题是 A．没有公共点的两圆叫两圆外离； B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称； C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点； D．内含两圆的圆心距大于零. 2．已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为 d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ） A．0＜d＜1 B．d＞5 C．0＜d＜1 或 d＞5 D．0≤d＜1 或 d＞5 3．已知两圆的半径分别为 2、5，且圆心距等于 3，则两圆位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．如果两圆的半径分别是 2 cm 和 3cm，圆心距为 5cm，那么这两圆的位置关系是（ ） A．内切； B．相交； C．外切； D．外离． 5．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠A=15°，半径为 2，则弦 CD 的长为（ ） A．2 B．﹣1 6．如图，在 半径为 3， A． VABC eC 中， �C  90� AC  BC ， 的半径为 2，如果 0  AP  8 B． 2 C． eP 和 1  AP  5 eC ， AB  8 D．4 ，点 P 在边 相交，那么线段 C． AP 1  AP  7 AB 上， eP 长的取值范围是（ D． 的 ） 4  AP  8 二、填空题 7．已知⊙ O1 和⊙ O2 的半径长分别为 3 和 4 ，若⊙ O1 和⊙ O2 内切，那么圆心距 O1O2 的长 等于______． 8．正十边形的中心角等于______度． 9．如图，已知⊙ O 中， �AOB  120o ，弦 AB  18 ，那么⊙ O 的半径长等于______． 10．如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为 5 厘米，并且它们内切时的圆心距为 1 厘米， 那么其中较大圆的半径为_________厘米． 11．正六边形的边心距与半径的比值为__________（结果保留根号）． 12．已知正三角形的边心距为 1 ，那么它的边长为________． 13．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”， 已知圆的半径长为 5 ，这个圆的一个联络四边形是边长为 2 5 的菱形，那么这个菱形不在 圆上的顶点与圆心的距离是________． 14．已知矩形 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB＝6，BC＝8，分别以点 O、D 为 圆心画圆，如果⊙O 与直线 AD 相交、与直线 CD 相离，且⊙D 与⊙O 内切，那么⊙D 的半径 长 r 的取值范围是______． 15．如图， eO eO 的弦 AB 和直径 CD 交于点 E，且 CD 平分 AB，已知 AB=8，CE=2，那么 的半径长是______． 16．在 Rt ABC 中， �ABC  90� AB  6 ， ， BC  8 ．分别以点 A, C 为圆心画圆，如 果点 B 在⊙ A 上，⊙ C A 与⊙ 相交，且点 A 在⊙ C 外，那么⊙ C r 的半径长 的取值范围是 _________． 17．我们把有一条边是另一条边的 2 倍的梯形叫做“倍边梯形”，在⊙O 中，直径 AB＝ 2，PQ 是弦，若四边形 ABPQ 是“倍边梯形”，那么 PQ 的长为_____． 18．在△ABC 中，已知 BC＝4cm，以边 AC 的中点 P 为圆心 1cm 为半径画⊙P，以边 AB 的 中点 Q 为圆心 x cm 长为半径画⊙Q，如果⊙P 与⊙Q 相切，那么 x＝_____cm． 三、解答题 19．已知：如图，⊙ A 和点 B 与⊙ O2 外切于点 T ，经过点 T 的直线与⊙ O1 、⊙ O2 分别相交于点 ． （1）求证： （2）若 O1 O1 A / / O2 B O1 A  2 20．如图， eO ， 是 ； O2 B  3 VABC ， AB  7 ，求 AT 的长． 的外接圆，AB 长为 4， 于点 D，交 AB 于点 E，且 E 为弧 AB 的中点，求： （1）边 BC 的长；． AB  AC ，连接 CO 并延长，交边 AB （2） eO 的半径． 21．如图，已知 点 C 在钱段 AB （1）求线段 （2）求 eO 2 ，在 e O 中， OA 、 OB 都是圆的半径，且 OA  OB ． 的延长钱上，且 BC �BOC 的半径为 OC  AB ． 的长； 的正弦值． 22．已知：如图，圆 O 是△ABC 的外接圆，AO 平分∠BAC． （1）求证：△ABC 是等腰三角形； （2）当 OA＝4，AB＝6，求边 BC 的长． 23．如图 1，在 Rt ABC 中， �ACB  90o, AC  3, BC  4, 点 P 在边 AC 上（点 P 与 点 A 不重合），以点 P 为圆心， PA 为半径作⊙ P 交边 AB 于另一点 D ， ED  DP ，交 边 BC 于点 E ．  DE ； （1）求证： BE （2）若 BE  x, AD  y （3）延长 AD ED 交 CA ，求 y x 关于 的函数关系式并写出定义域； 的延长线于点 F ，联结 BP ，若 BDP 与 DAF 相似，求线段 的长． 24．如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，AB＝6，点 C 在半圆 O 上．过点 A 作 AD⊥OC，垂 足为点 D，AD 的延长线与弦 BC 交于点 E，与半圆 O 交于点 F（点 F 不与点 B 重合）． （1）当点 F 为 � BC 的中点时，求弦 BC 的长； DE （2）设 OD＝x， AE ＝y，求 y 与 x 的函数关系式； （3）当△AOD 与△CDE 相似时，求线段 OD 的长． 25．如图，已知半圆⊙O 的直径 AB＝10，弦 CD∥AB，且 CD＝8，E 为弧 CD 的中点，点 P 在弦 CD 上，联结 PE，过点 E 作 PE 的垂线交弦 CD 于点 G，交射线 OB 于点 F． （1）当点 F 与点 B 重合时，求 CP 的长； （2）设 CP＝x，OF＝y，求 y 与 x 的函数关系式及定义域； （3）如果 GP＝GF，求△EPF 的面积． 参考答案 1．B 【解析】 试题分析：根据两圆的位置关系，对各选项逐一作出判断： A．因为没有公共点的两圆包括外离和内含，所以命题不是真命题； B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称，命题是真命题； C．因为联结内切两圆圆心的线段不经过切点，所以命题不是真命题；