5.4 平移 【学习目标】 了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移 变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计. 【知识总结】 一、平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【注】 （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体 来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【注】 （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． (2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后 者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 【典型例题】 【类型】一、 平移 例 1．如图所示，平移△ABC，使点 A 移动到点 A′，画出平移后的△A′B′C′． 【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接 AA′后这个问题便获得解决．根据平 移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等，容易画出所求的线段． 【答案与解析】 解：如图所示， l l （1）连接 AA′，过点 B 作 AA′的平行线 ，在 上截取 BB′＝AA′，则点 B′就是点 B 的对应点． （2）用同样的方法做出点 C 的对应点 C′，连接 A′B′、B′C′、C′A′， 就得到平移后的三角形 A′B′C′． 【点评】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离．连接 AA′，这个问题就解决了，然后分别把 B、C 按 AA′的方向平移 AA′的长度，便可得到其对应点 B′、C′，这就是确定了关键点平移后的位置，依次 连接 A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形 A′B′C′． 例 2． 如图所示，将△ABC 沿直线 AB 向右平移后到达△BDE 的位置，若 ∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE 的度数为________． 【答案】30° 【解析】根据平移的特征可知：∠EBD＝∠CAB＝50°而∠ABC＝100° 所以∠CBE＝180°-∠EBD-∠ABC＝180°-50°-100°＝30° 【点评】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不变．本例中由 △ABC 经过平移得到△BED．则有 AC＝BE，AB＝BD，BC＝DE，∠A＝∠EBD，∠C＝∠E，∠ABC＝ ∠BDE． 【训练】 如图，△ABC 沿着由点 B 到点 E 的方向，平移到△DEF，已知 BC=5．EC=3，那么平移的距离 为（　　） 　 A．2 B． 3 C．5 D．7 【答案】A 根据平移的性质，易得平移的距离=BE=5﹣3=2.故选 A． 【类型】二、平行的性质与判定综合应用 例 3、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( ) A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C 【解析】过点 C 作 CD∥AB， ∵ CD∥AB， ∴ ∠BAC+∠ACD=180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵ EF∥AB ∴ EF∥CD． ∴ ∠DCE+∠CEF=180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE ∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360° 【点评】这是平行线性质与平行公理的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC +∠ACE+ ∠CEF＝360°． 【训练】如图所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则 AB 与 EF 的位置关系 【答案】平行 ．