圆与相似三角形大题提高练习 ´ ΔABC 是 ⊙ O 的内接三角形，点 D 在 BC 上，点 AB 上（ E 不与 A 重合），且四边形 BDCE 为菱形. （1） 求证： AC =CE ； 1.如图， （2） 求证： （3）已知 值时， 2 2 B C − A C =AB ⋅ AC ⊙O AB ⋅ AC 的半径为 3.① 若 E 在弦 AB AC 为何 ； AB 5 = AC 3 ，求 BC 的长； ②当 的值最大？ −3 x+ b 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，点 C 是 4 16 线段 OA 上一动点（0＜AC＜ 5 ），以点 A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交 x 轴于另 2. 如图 1，直线 l： y= 一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE 并延长交⊙A 于点 F． （1）求直线 l 的函数表达式和 tan∠BAO 的值； （2）如图 2，连结 CE，当 CE=EF 时，①求证：△OCE∽△OEA；②求点 E 的坐标； （3）当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OE·EF 的最大值． 3. 如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，将弧 BC 沿直线 BC 翻折，使弧 BC 的中 点 D 恰好与圆心 O 重合，连接 OC，CD，BD，过点 C 的切线与线段 BA 的延长线交于点 P ， 连 接 AD ， 在 PB 的 另 一 侧 作 ∠ MPB=∠ADC ． （1）判断 PM 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 PC= ❑√ 3 ，求四边形 OCDB 的面积． 4. 如图在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ 3 4 x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 点 P、Q 同时从点 A 出发，运动时间为 t 秒．其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为每秒 4 个单 位长度，点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位长度．以点 Q 为圆心，PQ 长为半径 Q 作 ⊙ ． （1）求证：直线 AB 是⊙Q 的切线； （2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m，0），作直线 AB 的垂线 CM，垂足为 M．若 CM 与⊙Q 相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、CM、y 轴与⊙Q 同时相切？若存在， 请直接写出此时点 C 的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 已知：如图，在△ABC 中，AB=BC=10，以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC，BC 于点 D ， E ， 连 接 DE 和 DB ， 过 点 E 作 EF⊥AB ， 垂 足 为 F ， 交 BD 于 点 P ． （1）求证：AD=DE； （2）若 CE=2，求线段 CD 的长； （3）在（2）的条件下，求△DPE 的面积． 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，E 是 AC 的中 OE CD F 点 ， 交 于 点 ． （1）若∠BCD=36°，BC=10，求 BD 的长； （2）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）求证：2CE2=AB•EF． 7.如图，△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，弦 AF 交 BC 于点 E，延长 BC 到点 D，连 接 OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 5，CE=2，求 EF 的长． 8.如图，△ABC 内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD 为直径，OC 与 AB 相交于点 E，过点 E 作 EF⊥BC ， 垂 足 为 F ， 延 长 CD 交 GB 的 延 长 线 于 点 P ， 连 接 BD ． （1）求证：PG 与⊙O 相切； （2）若 EF AC = 5 8 ，求 BE OC 的值； （3）在（2）的条件下，若⊙O 的半径为 8，PD=OD，求 OE 的长． 9. 如图：在 ⊙O 中，BC=2,AB=AC，点 D 为 AC 上的动点，且 ❑ 10 cos B= √ 10 . （1）求 AB 的长度； （2）求 AD·AE 的值； （3）过 A 点作 AH⊥BD，求证：BH=CD+DH. 10. 如图，AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH，交⊙O 于点 E，过点 E 的直线 FG⊥AF，垂 足 为 F ， B 为 半 径 OH 上 一 点 ， 点 E 、 F 分 别 在 矩 形 ABCD 的 边 BC 和 CD 上 ． （1）求证：直线 FG 是⊙O 的切线； （2）若 AF=12，BE=6，求 FC AD 的值． 参考答案 1. 【 答 案 】 （ 1 ） 证 明 ： ∵ 四 边 形 BDCE 为 菱 形 ， ∴ CD=CE ， ∠ CBD=∠CBE ， ∴CD=AC ， ∴AC=CE ． （ 2 ） 证 明 ： 如 图 1 ， 过 点 C 作 CF⊥AB 交 于 点 F ， ∵AC=CE AF=EF Rt△BCF Rt△ACF ， ∴ ． 在 和 中 ， B C 2=B F 2 +C F 2 , A C2 =A F 2 +C F 2 , B C 2− A C 2=B F 2− A F2 =( BF+ AF)(BF−AF)=AB · BE ∴ ∵ ∴ 四 边 形 BDCE B C 2− A C 2=AB ⋅ AC 菱 形 ， ∴ ， 可 设 AB=5k ， BE=AC=3k ， 则 AE=AB- BE=2k，AF=k．在 Rt△ACF 中，cos∠A= AF k 1 = = AC 3 k 3 ． 2 如图 2，连接 CO 并延长交⊙O 与点 G，连接 BG，则∠G=∠A，则 cos∠G= ∵CG ∴△BCG ∵CG=6 ∴BC= ② 如图 2，设 是 是 直 直 ， cos∠G= 角 三 1 3 √ C G2−BG2 =❑√36−4=4 ❑√2 ❑ AB =m AC ， BE=CE=AC ． AB 5 = AC 3 （3）解：①∵ 是 ， 径 角 形 ,∴BG=2 1 3 , ， ， ， ． ， 其 中 m>1 ， AC=a ， 则 AB=ma ， AE=ma-a ， AF= AE 1 = (ma−a) 2 2 在 ， 中 Rt△AFC 在 ， 中 Rt△BCG ， cos∠A= ， CG=6 1 (m−1) 2 ∴BG=CG·cos∠G=6· 由 （ ） 2 36−(3 m−3)2 又 2 ¿ m a2+ a2 m+ 1≠ 0 ∵ 2 −27 3 = 2 ×(−9) 2 的值最大．∵0<BG<6，∴0<3（m-1）<6，∴1<m<3．∴当 m= AB 3 = AC 2 解 y= 线 的 l 函 数 表 达 ） ，得 式 3 2 时，AB·AC 的 −3 4 ×4+b=0 ， −3 y= x+ 3 4 ， BO=3 ， ， ） ， OA=4 3 4 ① 证 明 ： 如 . 图 ， ∵CE=EF ∴∠CAE=∠EAF 又 时 ， − 9m2+27m ， 为 0,3 ∴tan∠BAO= 2 ， ． b=3 （ ， ∴B ∵AO⊥BO （ −3 x+ b 4 得 直 ， 时，AB·AC 的值最大． 2. 【答案】（1）解：把 A（4，0）代入 ∴ 2 a2=9(3−m) ∴ ∴AB·AC=ma2=9m(3−m)=−9m2+27m ． 当 m= 值最大，即 2 9(m+1)(3−m)=a2 (m+1) ， ∴ ， , ， B C = AB· AC + A C =ma + a 得 , ， =3m-3 C G2−B G2=36−(3 m−3)2 BC2= ∴ 1 ( ma−a) AF 2 1 = = (m−1) AC a 2 1 (m−1) cos∠G=cos∠A= 2 ∵ AC=AE=AF 连 结 AF ， ， ， ， ， ， ， ∴∠ACE=∠AEF ∴∠OCE=∠OEA 又 ∵ ∴△OCE∽△OEA. ② 解 ： 如 图 ∠ ， 过 点 ∴ 设 ∴AE=AC=5x ∴OC=4-5x, ∵△OCE∽△OEA 即 ∴ 解 得 ∴E 作 EH⊥x 轴 于 点 H ， ， ， EH=3x ， ， AH=4x OH=4-4x ， ， OE OA （ E 3 4 ∵tan∠BAO= ∴ COE=∠EOA 4-4x x1= OC OE = ） 2 12 25 OE2=OA·OC 3x （ ） + ， x2=0 52 25 （ （ ， （ =4 2 不 合 题 4-5x 意 ， 36 25 ， 舍 ） ） ， , 去 ） . （ 3 ） 解 ： 如 图 ， 过 点 A 作 AM⊥OF 于 点 M ， 过 点 O 作 ON⊥AB 于 点 N, 3 4 4 5 ∵tan∠BAO= ∴cos∠BAO= , , 16 5 ∴AN=OA·cos∠BAO= , 设 AC=AE=r, 16 5 ∴EN= ， ∵ON⊥AB ， ∴∠ONE=∠AME=90° 又 ∴△OEN∽△AEM, ∴ -r, EM= ∵ OE AE AM⊥OF, 1 2 ∠ = EF, OEN=∠AEM, EN EM , 即 ∴OE·EF=-2r2+ 8 5 ∴当 r= 理 【 由 如 32 5 r-2 （ r- 8 5 ） 2+ 时，OE·EF 有最大值，最大值为 答 案 】 （ 1 下 ： 连 接 DO ） 并 EF=AE·EN, 16 5 128 25 （ ∴OE·EF=2AE·EN=2r· 3. 1 2 OE· 128 25 ） -r , 16 5 （0＜r＜ ）, . 解 ： PM 与 ⊙ O 相 切 延 长 交 PM 于 E ， 如 图 ． ， ∵ 弧 BC 沿 直 线 BC 翻 折 ， 使 弧 BC 的 中 点 D 恰 好 与 圆 心 O 重 合 ， ∴OC=DC BO=BD ， ， ∴OC=DC=BO=BD ， ∴ OBDC 四 边 形 为 菱 形 ， ∴OD⊥BC ， ∴△OCD OBD 和 △ 都 是 等 边 三 角 形 ， ∴∠COD=∠BOD=6