专题 13：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之和角平分线有关 的辅助线 一、单选题 1．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且 BD=BC，E 为 BD 延长线上的一点，BE=BA，过 E 作 EF⊥AB，F 为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③ AD=AE；④ BA+BC=2BF． 其中正确的是（ ） A．①②③ 2．如图， BC B．①③④ Rt VACB 中， C．①②④ �ACB  90� VABC ， 的角平分线 D．①②③④ AD 、 BE 相交于点 P ，过 P 作 PF  AD 交 F ，交 AC 于点 H ，则下列结论：① �APB  135 ；② PF  PA ；③ � 的延长线于点 AH  BD  AB ；④ S 四边形 ABDE  3 S VABP ，其中正确的个数是（ ） 2 A．4 B．3 3．如图， ABC 中， C．2 �ACB  135� CD  AB ， D．1 ，垂足为 D ，若 AD  6 ， BD  20 ，则 CD 的长为（ ） A． 2 2 B． 3 2 7 C． 2 D．4 二、填空题 4．如图所示， �CAP  VABC _______． 的外角 �ACD 的平分线 CP 与 �ABC 的平分线相交于点 P，若 �BPC  36� ，则 5．（香坊名师原创）如图，四边形 ABCD 中 �D  2�B  120� ， AB  AD ， E 为 BC 上一点，连接 AE ， BE  2 6．如图，在 _，②若 ， CD  7 ABC 中， ，若 4�BAE  �BCD  120� �BAC ，则线段 、 �BCA �B  35� BC  AI  AC ， I CE 的长为_______． 的角平分线相交于点 ，①若 ，则 �BAC  �B  40� ，则 �AIC  _________ ___________. 7．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，若∠BPC＝50 �，∠CAP ＝______． 8．如图，BP 平分∠ABC， 有① PD  BC �ABC  �EPF  180� ；② ，E、F 分别是角两边上点，现有四个结论知其一定能得其余结论的 �BEP  �PFC ；③ PE  PF ；④ 2 BD  BF  BE ，_____. 三、解答题 9．如图所示，在四边形 ABCD 中， AC 平分 �DAB, CD  CB ，求证： �B  �D  180o ． 10．如图， V ABC 的外角∠DAC 的平分线交 BC 边的垂直平分线于 P 点，PD⊥AB 于 D，PE⊥AC 于 E． （1）求证：BD＝CE； （2）若 AB＝6cm，AC＝10cm，求 AD 的长． 11．如图， ABC 的外角 �ACD 的平分线 CP 与内角 �ABC 的平分线 BP 交于点 P ，若 �BPC  40� ， 求 �CAP 的度数． 12．如图，在 F ，试判断 ABC FE 和 中， FD �B  60� AD ， 、 CE 分别是 �BAC 、 �ACB 的平分线， AD 、 CE 相交于点 之间的数量关系. 13．如图，已知 B 1, 0 ， C 1, 0 ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB  AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且BDC  BAC . （1）求证： ABD  ACD ； （2）求证： AD 平分CDE ； （3）若在 D 点运动的过程中，始终有 DC  DA  DB ，在此过程中，BAC 的度数是否变化？如果变 化，请说明理由；如果不变，请求出BAC 的度数？ 14．如图，在 证：（1） ABO OD  BF 中， OA  OB ；（2） ， �AOB  90� AD AD  OF  2 DE ， 平分 �OAB ， OE  AD 于 E ，交 AB 于 F .求 . 15．如图，已知 BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 外一点，△ABC 为正三角形，D 为 BC 的中点，M 为⊙O 上一 点． （1）若 AB 是⊙O 的切线，求∠BMC； （2）在（1）的条件下，若 E，F 分别是 AB，AC 上的两个动点，且EDF120，⊙O 的半径为 2，试问 BECF 的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 参考答案 1．D 【解析】 【分析】 根据 SAS 证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC 可得①②正确；根据角的和差以 及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即 AE＝EC，由 AD＝EC，即可得③正确；过 E 作 EG⊥BC 于 G 点，证明 Rt△BEG≌Rt△BEF 和 Rt△CEG≌Rt△AEF，得到 BG＝BF 和 AF＝CG，利用线段和差即可得到④ 正确． 【详解】 解：①∵BD 为△ABC 的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， �BD＝BC � �ABD＝�CBD ， ∴在△ABD 和△EBC 中， � �BE＝BA � ∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确； ②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD＝BC，BE＝BA， ∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE＝∠BDA， ∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确； ③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA， ∴∠DCE＝∠DAE， ∴△ACE 为等腰三角形， ∴AE＝EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC， ∴AD＝AE．③正确； ④ 过 E 作 EG⊥BC 于 G 点， ∵E 是∠ABC 的角平分线 BD 上的点，且 EF⊥AB， ∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等）， �BE  BE ∵在 Rt△BEG 和 Rt△BEF 中， � �EF  EG ， ∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， ∴BG＝BF， �AE  CE ∵在 Rt△CEG 和 Rt△AFE 中， � �EF  EG ， ∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL）， ∴AF＝CG， ∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确． 故选 D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本 题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键． 2．B 【解析】 【分析】 根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】 解：∵在△ABC 中，∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD、BE 分别平分∠BAC、∠ABC， 1 1 �ABC �CAB ∴∠BAD= 2 ，∠ABE= 2 1 1 1 �CAB + �ABC = (�CAB  �ABC )  45� ∴∠BAD+∠ABE= 2 2 2 ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确； ∴∠BPD=45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB=90°+45°=135° ∴∠APB=∠FPB 又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA） ∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确； 在△APH 与△FPD 中 ∵∠APH=∠FPD=90° ∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF ∴△APH≌△FPD（ASA）， ∴AH=FD， 又∵AB=FB ∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确； 连接 HD，ED， ∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP ∴ SVAPH  SVFPD ， SVABP  SVFBP ，PH=PD， ∵∠HPD=90°， ∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD ∴HD∥EP， ∴ ∵ SVEPH  SVEPD S四边形ABDE  SVABP  SVBDP  SVAEP  SVEPD  SVABP  ( SVAEP  SVEPH )  SVPBD  SVABP  SVAPH  SVPBD  SVABP  SVFPD  SVPBD  SVABP  SVFBP  2SVABP 故④错误， ∴正确的有①②③， 故答案为：B． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意 AAA 和 SAS 不能判定两个三角形全等． 3．D 【解析】 【分析】 做 ACD, BCD 分别关于 AC , BC 的对称图形 方形，再根据等量关系用勾股定理计算． 【详解】 ACE , BCF 延长 AE , BF 交于点 G ，连接 CG ,构造正 做 ACD, BCD 分别关于 AC , BC 的轴对称图形 ACE , BCF 延长 AE , BF 交于点 图： ∵ ACE , BCF 是 ACD, BCD 的对称三角形 AE  AD  6, BF  BD  20, CE  CD  CF ∴ �AEC  �ADC , �BFC  �BDC , ACE  �ACD, �BCF  �BCD ∵ CD  AB ∴ �ADC  �BDC  �AEC  �BFC  90� 又∵ ∴ ∴ �ACB  135� �ACE  �BCF  135� �ECF  360� 135� 135� 90� ∴四边形 CEGF 是正方形 设 CD  CF  GF  CE  GE  x  x  6 2 ，在 Rt GAB 中： AG 2 + BG 2  AB 2   20  x   262 解得： x1  4, x2  30 （舍） 2 即： G ，连接 CG ，如 ∴ CD 的长为 4． 【点睛】 本题是一