2020 年中考代数综合 第 4 讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题 【案例赏析】 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ +2x﹣a+1 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A， B 两点（点 A 在点 B 左侧），且点 A 的横坐标为﹣1． （1） 求 a 的值； （2） 设抛物线的顶点 P 关于原点的对称点为 P′，求点 P′的坐标； （3） 将抛物线在 A，B 两点之间的部分（包括 A，B 两点），先向下平移 3 个单位， 再向左平移 m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象 G，若图象 G 与直线 PP'无交点， 求 m 的取值范围． 2. 抛物线 y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在点 B 的左侧， 与 y 轴交于点 C，OB＝OC． （1） 求这条抛物线的表达式； （2） 将抛物线 y1 向左平移 n（n＞0）个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大的部 分为 P，若点 C 在直线 y2＝﹣3x+t 上，直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点时，求 n 的取值范围． 3. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（3m+1）x+3＝0． （1） 求证：该方程有两个实数根； （2） 如果抛物线 y＝mx2+（3m+1）x+3 与 x 轴交于 A、B 两个整数点（点 A 在点 B 左侧），且 m 为正整数，求此抛物线的表达式； （3） 在（2）的条件下，抛物线 y＝mx2+（3m+1）x+3 与 y 轴交于点 C，点 B 关于 y 轴的 对称点为 D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣ 之间的部分为图象 G，如果图象 G 向右平移 n （n＞0）个单位长度后与直线 CD 有公共点，求 n 的取值范围． 【专项突破】 4．已知关于 x 的方程 mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0． （1） 求证：无论 m 取任何实数时，方程总有实数根； （2）若关于 x 的二次方程 y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛 物线的解析式； （3） 在直角坐标系 xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线 y＝ x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求 b 的取值范围． 5. 已知关于 x 一元二次方程 x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根 （1） 求 k 取值范围； （2）当 k 最小的整数时，求抛物线 y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与 x 轴的交点坐标； （3）将（2）中求得的抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部 分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线 y＝x+m 有三个不同 公共点时 m 值． 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝2x2+mx+n 经过点 A（﹣1，a），B（3，a），且 最低点的纵坐标为﹣4． （1） 求抛物线的表达式及 a 的值； （2） 设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为点 D，点 P 是抛物线对称轴上一动点， 记抛物线在点 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，B 两点）．如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点 P 纵坐标 t 的取值范围． 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为 A，与 x 轴交于 B，C 两点（点 B 在点 C 左侧），与 y 轴交于点 D． （1） 求点 A 的坐标； （2） 若 BC＝4， ① 求抛物线的解析式； ② 将抛物线在 C，D 之间的部分记为图象 G（包含 C，D 两点）．若过点 A 的直线 y＝kx+b （k≠0）与图象 G 有两个交点，结合函数的图象，求 k 的取值范围． 8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（3，0） 两点． （1） 求抛物线的表达式； （2） 抛物线 y＝﹣x2+bx+c 在第一象限内的部分记为图象 G，如果过点 P（﹣3， 4）的直线 y＝mx+n（m≠0）与图象 G 有唯一公共点，请结合图象，求 n 的取值范围． 9. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1：y＝x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的 左侧），对称轴与 x 轴交于点（3，0），且 AB＝4． （1） 求抛物线 C1 的表达式及顶点坐标； （2） 将抛物线 C1 平移，得到的新抛物线 C2 的顶点为（0，﹣1），抛物线 C1 的对 称轴与两条抛物线 C1，C2 围成的封闭图形为 M．直线 l：y＝kx+m（k≠0）经过点 B．若 直线 l 与图形 M 有公共点，求 k 的取值范围． 【参考答案】 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ +2x﹣a+1 与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A， B 两点（点 A 在点 B 左侧），且点 A 的横坐标为﹣1． （1） 求 a 的值； （2） 设抛物线的顶点 P 关于原点的对称点为 P′，求点 P′的坐标； （3） 将抛物线在 A，B 两点之间的部分（包括 A，B 两点），先向下平移 3 个单位， 再向左平移 m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象 G，若图象 G 与直线 PP'无交点， 求 m 的取值范围． 【分析】（1）把 A（﹣1，0）代入抛物线解析式，列出关于 a 的一元一次方程，通过解该方 程求得 a 的值； （2） 根据（1）中抛物线解析式求得顶点 P 的坐标，然后由关于原点对称的两点 的横、纵坐标均互为相反数来求点 P′的坐标； （3） 由点 P、P′的坐标求得直线 PP′的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进 行答题． 【解答】解： （1）∵A（﹣1，0）在抛物线 ∴ ∴解得 a＝﹣2． ， 上， （2） ∴抛物线表达式为 y＝﹣x2+2x+3． ∴抛物线 y＝﹣x2+2x+3 的顶点 P 的坐标为（1，4）． ∵点 P 关于原点的对称点为 P'， ∴P'的坐标为（﹣1，﹣4）． （3） 直线 PP'的表达式为 y＝4x， 图象向下平移 3 个单位后，A'的坐标为（﹣1，﹣3），B'的坐标为（3，﹣3），若 图象 G 与直线 PP'无交点，则 B'要左移到 M 及左边， 令 y＝﹣3 代入 PP'，则 ∴ ∴ ，M 的坐标为 ， ， ． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数 图象上点的坐标特征．此题中的点 A 的坐标是隐含在题中的一个已知条件． 2. 抛物线 y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与 x 轴交于 A、B 两点，且点 A 在点 B 的左侧， 与 y 轴交于点 C，OB＝OC． （1） 求这条抛物线的表达式； （2） 将抛物线 y1 向左平移 n（n＞0）个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大的部 分为 P，若点 C 在直线 y2＝﹣3x+t 上，直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点时，求 n 的取值范围． 【分析】（1）由抛物线的解析式易求点 C 的坐标，进而可求出点 B 的坐标，把点 B 的坐标代 入抛物线的解析式可求出 m 的值，则抛物线的解析式也可求出； （2）由点 C 在直线 y2＝﹣3x+t 上，可知 t＝﹣3，若 y1 向左平移 n 个单位后，则表达式 为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，若 y2 向下平移 n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要 使平移后直线与 P 有公共点，则当 x＝1﹣n，y3≤y4，进而可求出 n 的取值范围． 【解答】解：（1）∵抛物线与 y 轴交于点 C， ∴C（0，﹣3）． ∵抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，OB＝OC， ∴B（3，0）或 B（﹣3，0）． ∵点 A 在点 B 的左侧，m＞0， ∴抛物线经过点 B（3，0）． ∴0＝9m+3（m﹣3）﹣3． ∴m＝1． ∴抛物线的表达式为 y1＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）可知：y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∵点 C 在直线 y2＝﹣3x+t 上， ∴t＝﹣3， ∴y2＝﹣3x﹣3， y1 向左平移 n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4， 则当 x≥1﹣n 时，y 随 x 增大而增大， y2 向下平移 n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n， 要使平移后直线与 P 有公共点，则当 x＝1﹣n，y3≤y4， 即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n， 解 得：n≥1． 【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、二次函数和坐标轴的交点问题 以及二次函数增减性等知识，熟练掌握二次函数的各种性质特别是平行的性质是解题关键． 3. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（3m+1）x+3＝0． （1） 求证：该方程有两个实数根； （2） 如果抛物线 y＝mx2+（3m+1）x+3 与 x 轴交于 A、B 两个整数点（点 A 在点 B 左侧），且 m 为正整数，求此抛物线的表达式； （3） 在（2）的条件下，抛物线 y＝mx2+（3m+1）x+3 与 y 轴交于点 C，点 B 关于 y 轴的 对称点为 D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣ 之间的部分为图象 G，如果图象 G 向右平移 n （n＞0）个单位长度后与直线 CD 有公共点，求 n 的取值范围． 【分析】（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证； （2） 根据求根公式表示出两根，由题意，求出 m 的值，可得抛物线的解析式； （3） 点求出点 A，B，C，D 的坐标，根据待定系数法求出直线 CD 的解析式，设平移 后， 点 A，E 的对应点分别为 A′（﹣3+n，0），E′（﹣ +n， ），根据点在直线上，求出取值 范围即可． 【解答】（1）证明：由根的判别式，可得：△＝（3m+1）2﹣4×m×3＝（3m﹣1）2， ∵（3m﹣1）2≥0， ∴△≥0， ∴原方程有两个实数根； （2）解：令 y＝0，那么 mx2+（3m+1）x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣ ， ∵抛物线与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 m 为正整数， ∴m＝1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x+3； （3）如图， ∵当 x＝0 时，y＝3， ∴C（0，3）， ∵当 y＝0 时，x1＝﹣3，x2＝﹣1， 又∵点 A 在点 B 的左侧， ∴A（﹣3，0），B（﹣1，0）， ∵点 D 与点 B 关于 y