2021-2022 学年青岛新版八年级上册数学《第 5 章 几何证明初 步》单元测试卷 一．选择题 1．平面内有三条直线 a、b、c，下列说法：①若 a∥b，b∥c，则 a∥c；②若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c，其中正确的是（　　） A．只有① B．只有② C．①②都正确 D．①②都不正确 2．有下列四个命题：①对顶角相等；②等角的补角相等；③如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c；④ 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．其中是真命 题的有（　　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 3．下列语句： ① 在同一平面内，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行； ② 如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直； ③ 过一点有且只有一条直线与已知直线平行， 其中（　　） A．①、②是正确的命题 B．②、③是正确命题 C．①、③是正确命题 D．以上结论皆错 4．有 A、B、C、D、E 共 5 位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛 1 盘，比赛过程中间 统计比赛的盘数知：A 赛了 4 盘，B 赛了 3 盘，C 赛了 2 盘，D 赛了 1 盘，那么同学 E 赛 了（　　）盘． A．1 B．2 C．3 5．下列说法正确的是（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 6．下列说法错误的是（　　） A．对顶角相等 D．4 B．两点之间所有连线中，线段最短 C．等角的补角相等 D．过任意一点 P，都能画一条直线与已知直线平行 7．下列图形中，能由∠1＝∠2 得到 AB∥CD 的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，当用反证法证明时， 第一步应假设（　　） A．AB≠AC B．PB＝PC C．∠APB＝∠APC D．∠B≠∠C 9．“ ＜1”是“a＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°”时应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于或等于 60° B．三角形中有两个内角小于或等于 60° C．三角形中有三个内角小于或等于 60° D．三角形中没有一个内角小于或等于 60° 二．填空题 11．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”，这是个　 　命题．（填“真”、“假”） 12．把命题“互补两角的和是 180°”，改写成“如果⋯，那么⋯”的形式：　 13．如图，木工用角尺画出 CD∥EF，其依据是　 　． 　． 14．若直线 a∥b，a∥c，则直线 b 与 c 的位置关系是　 　． 15．黑板上写有 1， ， ，… 共有 100 个数字，每次操作，先从黑板上的数选取 2 个 数 a，b，然后删去 a，b，并在黑板上写上数 a+b+ab，则经过 99 次操作后，黑板上剩下 的数是　 　． 16．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°”时，首先应假设这个三角形 中　 　． 17．用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设　 18．经过直线外一点，　 　． 　一条直线与这条直线平行． 19．甲，乙，丙 3 人用擂台赛形式进行训练，每局 2 人进行单打比赛，另 1 人当裁判，每 一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时发现甲共 打了 12 局，乙共打了 21 局，而丙共当裁判 8 局．那么，整个比赛的第 10 局的输方一定 是　 　． 20．如图：PC∥AB，QC∥AB，则点 P、C、Q 在一条直线上． 理由是：　 　． 三．解答题 21．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命 题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例． 22．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等． 23．根据真命题“若 a﹣b≥0，则 a≥b”，比较多项式 x2+2y2 与 2xy+4y﹣4 的大小． 24．用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角． 25．一个人输密码，输了 4 次，3406，1630，7364，6173，每个数中都对了两个数，但位 置不正确，问正确中必含哪两个． 26．已知直线 a∥b，b∥c，c∥d，则 a 与 d 的关系是什么，为什么？ 27．某次数学竞赛中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A、B、C 三个选项中，只有一个 是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A 　　 （1）则丁同学的得分是　 　； （2）如果有一个同学得了 1 分，他的答案可能是　 　（写出一种即可） 参考答案与试题解析 一．选择题 1．解：①若 a∥b，b∥c，则 a∥c，说法正确； ② 若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c，说法错误，应为同一平面内，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； 故选：A． 2．解：①对顶角相等，正确； ② 等角的补角相等，正确； ③ 如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c，正确； ④ 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，正确， 故选：A． 3．解：在同一平面内，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，所以①正确； 如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直， 所以②正确； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以③错误． 故选：A． 4．解：共有 5 个人，A 赛 4 盘，则 A 与 B、C、D、E 每人赛一盘； B 赛 3 盘，因为 D 赛了 1 盘，则这三盘一定是与 A、C、E 的比赛； C 赛了两盘，是与 A 和 B 赛的． 则 E 一共赛了 2 盘，是与 A 和 B 赛的． 故选：B． 5．A、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，所 以错误； B、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； C、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角不一定相等，应强调是两直线平行， 是错误的； D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确； 故选：D． 6．解：A、对顶角相等，正确； B、两点之间所有连线中，线段最短，正确； C、等角的补角相等，正确； D、过直线外一点 P，都能画一条直线与已知直线平行，错误； 故选：D． 7．解：由∠1＝∠2 得到 AB∥CD 的是 D 选项， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD． 故选：D． 8．解：假设结论 PB≠PC 不成立，即：PB＝PC 成立． 故选：B． 9．解：a＞1⇒ 而 ， 不能推出 a＞1， 所以 ＜1 是 a＞1 的充分不必要条件， 故选：A． 10．解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°”时， 第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于 60°， 故选：D． 二．填空题 11．解：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误，是假命题， 故答案为：假； 12．解：命题“互补两角的和是 180°”，写成“如果 ⋯，那么 ⋯”的形式是：如果两个角互补 ， 那么这两个角的和是 180°， 故答案为：如果两个角互补，那么这两个角的和是 180°． 13．解：木工用角尺画出 CD∥EF，其依据是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 14．解：若直线 a∥b，a∥c，则直线 b 与 c 的位置关系是平行， 故答案为：平行． 15．解：∵a+b+ab+1＝（a+1）（b+1）， ∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数加 1 后的乘积不变， 设经过 99 次操作后，黑板上剩下的数为 x，则 x+1＝（1+1）×（ ）×（ +1）×（ +1）×…×（ +1）×（1+ ）， 化简得：x+1＝101， 解得：x＝100， ∴经过 99 次操作后，黑板上剩下的数是 100． 故答案为：100． 16．解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大 于 60°． 故答案为：每一个内角都大于 60°． 17．解：用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，第一步应假设同一三角形中最多 有一个锐角． 故答案为：同一三角形中最多有一个锐角． 18．解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：有且只有． 19．解：根据题意，知丙共当裁判 8 局，所以甲乙之间共有 8 局比赛， 又甲共打了 12 局，乙共打了 21 局，所以甲和丙打了 4 局，乙和丙打了 13 局， 三个人之间总共打了（8+4+13）＝25 局， 考查甲，总共打了 12 局，当了 13 次裁判，所以他输了 12 次． 所以当 n 是偶数时，第 n 局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第 10 局的输方必是甲． 20．解：∵PC∥AB，QC∥AB， ∵PC 和 CQ 都过点 C， ∴P、C、Q 在一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 三．解答题 21．解：命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命 题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直． 原命题是假命题． 反 例 ： 如 图 1 ， ∠ CAB 的 两 边 与 ∠ CDB 的 两 边 分 别 垂 直 ， 但 ∠ CAB+∠CDB ＝ 180°，∠CAB 与∠CDB 不一定相等； 逆命题是假命题． 反例：如解图 2，∠AOC＝∠BOD，但 AB 与 CD 不一定垂直． 22．证明：假设它们所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”知它们 所对的角也相等，这就与题设两个角不等相矛盾，因此假设不成立，故原结论成立． 23．解：x2+2y2﹣（2xy+4y﹣4） ＝x2+2y2﹣2xy﹣4y+4 ＝x2﹣2xy+y2+y2﹣4y+4 ＝（x﹣y）2+（y﹣2）2≥0， ∴x2+2y2≥2xy+4y﹣4． 24．证明：假设△ABC 的三个外角中至少有两个直角， 则△ABC 的三个内角中至少有两个直角，不妨设∠