七年级数学下册第八章整式的乘法 8.1 同底数幂的乘法 教学目标 （一）教学知识点 1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． （二）能力训练要求 1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力． 2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解“特殊──一般 ──特殊”的数学思想． （三）情感与价值观要求 体会数学思想方法，激发学生探索创新的精神． 学情分析 在前面的学习中，学生已经学习了用字母表示数以及整式的加减运算，但是用 字母表示幂以及幂的运算，尚属首次，幂的运算抽象程度较高，不易理解。特 别是对于 am+n 的指数理解，因为它不仅抽象度高，而且运算结果反映在指数上， 学生第一次接触，也很难理解。教学时，应引导学生回顾乘方的意义，从数式 通性的角度理解字母表示的幂的意义，进而明确同底数幂的乘法的算理。 教学重点 同底数幂的乘法的运算法则． 教学难点 同底数幂的乘法的运算法则的理解与应用． 教学方法 探究教学法：利用学生已有的知识对所学内容进行自主探究、发现，在发现， 在应用。此活动中培养学生的探索创新精神与创新能力． 教学过程 （一）．提出问题，创设情境 回顾 an 的意义： [师] 在七年级我们已经学习了有理数乘方的知识，现在请同学们回忆一下 an 的 意义是什么？，其中 a,n,an 各表示什么？ [生]an 表示 n 个 a 相乘，这种求 n 个相同因数的积的运算运算叫做乘方．其中 a 叫做底数，n 叫做指数，把 an 的结果叫幂。 [师]我们做一下练习：25 表示什么？10×10×10×10×10 可以写成什么形式？ [生]5 个 2 相乘，写成 105 [师]回答非常正确，今天我们继续学习与幂有关的新知识。 问题 1：一种电子计算机每秒可进行 1 千万亿（1015）次运算，它工作 103 秒可 进行多少次运算？ [师]能不能根据题意列出算式呢？ [生]运算次数=运算速度×工作时间 所以计算机工作 103 秒可进行的运算次数为：1015×103． [师] 根据乘方的意义如何计算 1015×103 呢？ [生] 15 3 （10�L �10) 1 44 2 4 43 10 ×10 = 15个10 ×（10×10×10） （乘方的意义） ( 10�10�L �10) 1442443 = （乘法的结合律） 18个10 =1018． （乘方的意义） [师]真棒！在上边运算中可以发现 1015、103 这两个因数是同底数幂的相乘的形 式，所以我们把像 1015×103 的运算叫做同底数幂的乘法． 下面我们来探究同底数幂的乘法的运算法则。 （二）探究学习，解析新知 问题 2 1、根据乘方的意义填空： ）×（ 25×22=（ ）=2（ ）=2（ ）+（ ）． ）·（ ）=a（ ）=a（ ）+（ ） a3·a2=（ 5m·5n= （ ）（ ）=5（ ）+（ ） （小组讨论，交流，教师巡视） [师]请同学们根据乘方的意义进行填空。 [生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）=27=25+2． 因为 25 表示 5 个 2 相乘，；22 表示 2 个 2 相乘，共有 7 个 2 相乘，25×22=27，同 样道理可得 a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2． m n 5 ·5 = (5 �5 �L �5) 1 44 2 4 43 m个 5 × (5 �5 �L �5) 1 44 2 4 43 n个5 =5m+n． 2、[师]请同学们观察上面各题中等号左边是什么运算？等号两边的底数、指数 有什么关系？用语言描述出规律。 [生]1[生]2[生]3 [师]总结同学们的描述，我们可以归纳如下关系： （一）等号左边都是底数相同的幂相乘． （二）等号右边的底数与等号左边的底数相同 （三）等号右边的指数是等号左边的两个指数和． 3、[师]根据规律猜想： am·an=?并尝试证明你的结论。 [生]am·an=am+n [师生共同]根据乘方的意义可得：==am+n m n a ·a = (a � a L a) (a � a L a) a2L43a 14 2 43 14 2 43 a14� m个a · n个a = ( m+n)个a =am+n [师]通过证明有 am·an=am+n（m、n 都是正整数），（板书）这就是同底数幂的 乘法的运算法则，请同学们用语言来描述此法则 [生]同底数幂相乘，底数不变，指数相加（板书） [师] 好，请同学们齐读一下同底数幂的乘法的法则。 说明法则在使用时要注意以下两点：条件：⑴同底数幂 ⑵乘法运算 结果： ⑴底数不变 ⑵ 指数相加 拓展思考： [师]在 am·an=am+n（m、n 都是正整数）式子中表示的是两个同底数幂的相乘， 那么当三个或三个以上同底数幂相乘时，此法则是否还试用呢？以 am·an·ap=？ 为例。 m n p [生]a ·a ·a = a� aL a a � aL a a2L43a 14 2 43 14 2 43 a14� m个a · n个a · p个a =am+n+p． [师]：恩，回答非常正确，从刚才的结果我们知道当三个或三个以上同底数幂 相乘时，此法则同样适用。下面我们就可以用这些法则来解决一些实际问题。 （三）应用新知，巩固提高 例计算 （1）x2·x5 (2) a·a6 (3) （－2）×（－2）4×（－2）3 (4) xm·x3m+1 [师]我们先来看例是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？ [生 1]（1）、（2）、（3）、（4）都可以直接用“同底数幂相乘，底数不变， 指数相加”的法则． [师]同学们分析得很好．（教师板书，学生说过程，） （1）解：x2·x5=x2+5=x7． （2）解：a·a6=a1·a6=a1+6=a7． 学生解说 a=a1 ？ （3）解：（－2）×（－2）4×（－2）3=（－2）1+4+3=（－2）8=28．解说当出现 负数的幂时结果要化简。如：（-2）8=28，（-3）5=-35 （4）解：xm·x3m+1=xm+（3m+1）=x4m+1． [师]下面我们做一个游戏：一棵大树上挂有 7 盏灯笼，每盏灯笼里都有两道题， 每一个小组选派一名代表来选择灯笼号，然后做相对应的题目，答对一题得 10 分，打错不得分，答错同学可以找同组同学帮忙，但要扣掉相应的分数 5 分， 分高者优胜。 灯笼 1 计算（抢答）：（1） 105×106 （2） a7 ·a3 灯笼 2 判断对错，并说明理由：（1）b3·b3=2b3 ( ) 灯笼 3 计算（板演）：（1）（-3）4×（-3）5 灯笼 4 计算（抢答）：（3） x5 ·x5 (2)b5+b5=b10 ( ) （2）-a4×a3 （4） b5 · b 灯笼 5 判断对错，并说明理由：(3)x·x5=x5 ( ) 灯笼 6 (3)y2n·yn+1 (4)(x+y)3·(x+y) ·(x+y)2 灯笼 7 填空： (5) 16=2x, x=( 板演：(6) (4)y2·y3=y6( ) ) 4×8=2x，则 x=( ) (n-m)2· (m-n)3 [师]下面我们从第 1 小组开始选取灯笼，依次 2 组… （师生共同活动，学生根据题意说答案或板演，教师点评） 根据同学们的回答与板演点评，并指出做题时的注意事项： 1、-a4 中底数为 a，读作 a4 的相反数，计算时可以看做-1×a4 2、当底数互为相反数时，要把底数统一成同底数幂然后再按法则进行运算。 3、通过上边这些题可以看出 a 可以是一个数，一个字母，也可以是一个多项式。 当底数为多项式时，我们要把它看做一个整体加上小括号。 （四）课堂小结 [师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的 收获和体会呢？ [生]通过本节学习我知道了同底数幂乘法的运算性质． [生]同底数幂相乘法则对于三个或三个以上同底数幂相乘时也同样适用。 [师]同学们总结了本节知识，除此之外，这节课我们在探索法则时还体现了一 种重要的数学思想，即“特殊（例子）——一般（公式）——特殊（应用）” （五）课后作业 1．必做题：课本 P96 练习（1）、（2），（3），（4） 2、选做题：am=2,an=3,求：am+n 的值 板书设计 8.1 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则 ： am·an=am+n（m、n 都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例题：（1）x2·x5 (2) a·a6 (3) （－2）×（－2）4×（－2）3 (4) xm·x3m+1