专题突破 ( 八 ) 　二次函数与几何图形综合题 类型一 二次函数与线段长有关的最值问题 例 1 如图 Z8-1, 二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(-1,0) 和点 B(3,0), 与 y 轴交于点 C, 点 P 是第四象限抛物线上的动点 . (1) 求二次函数的解析式和直线 BC 的解析式 ; (2) 如图① , 过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q, 求 PQ+QO 取最大值时点 P 的坐标 ; (3) 如图② , 过点 P 作 PH⊥BC 于点 H, 求线段 PH 的最大值 . 图 Z8-1 例 1 如图 Z8-1, 二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(-1,0) 和点 B(3,0), 与 y 轴交于点 C, 点 P 是第四象限抛物线上的动点 . (1) 求二次函数的解析式和直线 BC 的解析式 ; 图 Z8-1 (2) 如图① , 过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q, 求 PQ+QO 取最大值时点 P 的坐标 ; 图 Z8-1 (3) 如图② , 过点 P 作 PH⊥BC 于点 H, 求线段 PH 的最大值 . 图 Z8-1 【方法点析】求一条线段的最值 , 可以将动点横坐标或纵坐标设为变量 m, 用字 母 m 表示线段的长度 L, 将 L 看成是 m 的函数 , 求函数最值即可 , 注意 m 的取值 范围 , 用 m 表示线段长时注意正负符号 . 如果不能直接表示 , 往往需要构建辅助 线 , 借助特殊锐角的三角函数或者相似三角形 , 对线段进行转换 , 再求最值 . 【配练】 [2019· 常德节选 ] 如图 Z8-2, 已知二次函数图象的顶点坐标为 A(1,4), 与坐标轴交于 B,C,D 三点 , 且 B 点的坐标为 (-1,0). (1) 求二次函数的解析式 . (2) 在二次函数图象位于 x 轴上方部分有两个动点 M,N, 且点 N 在点 M 的左侧 , 过 M,N 作 x 轴的垂线分别交 x 轴于 G,H 两点 , 当四边形 MNHG 为矩形时 , 求该 矩形周长的最大值 解 :(1) 设抛物线的解析式为 y=a(x-1)2+4, 把 B(-1,0) 代入解析式得 :4a+4=0, 解得 a=-1, ∴y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. 图 Z8-2 【配练】 [2019· 常德节选 ] 如图 Z8-2, 已知二次函数图象的顶点坐标为 A(1,4), 与坐标轴交于 B,C,D 三点 , 且 B 点的坐标为 (-1,0). (2) 在二次函数图象位于 x 轴上方部分有两个动点 M,N, 且点 N 在点 M 的左侧 , 过 M,N 作 x 轴的垂线分别交 x 轴于 G,H 两点 , 当四边形 MNHG 为矩形时 , 求该 矩形周长的最大值 解 : (2) 易得 C(3,0). 设点 M 的坐标为 (x,-x2+2x+3)(1<x<3), 根据四边形 MNHG 为矩形得 M,N 关于直线 x=1 对称 , ∴ 点 N(2-x,-x2+2x+3), 则 MN=x-2+x=2x-2,GM=-x2+2x+3, 矩形 MNHG 的周长 =2MN+2GM=2(2x-2)+2(-x2+2x+3) =-2x2+8x+2=-2(x-2)2+10, ∵-2<0, 故当 x=2 时 , 矩形周长有最大值 , 最大值为 10. 图 Z8-2 例 2 已知抛物线 y=x2-4x+3 与 x 轴交于 A,B 两点 (A 在 B 点左侧 ), 与 y 轴正半轴 交于点 C, 点 P 是直线 BC 上的动点 , 点 Q 是线段 OC 上的动点 . (1) 求 A 点坐标及∠ OCB 的度数 . (2) 如图 Z8-3, 求 OP+PA 的最小值 , 以及此时点 P 的坐标 . (3) 如图 Z8-4, 求 AQ+QP 的最小值 . 图 Z8-3 图 Z8-4 图 Z8-5 例 2 已知抛物线 y=x2-4x+3 与 x 轴交于 A,B 两点 (A 在 B 点左侧 ), 与 y 轴正半轴 交于点 C, 点 P 是直线 BC 上的动点 , 点 Q 是线段 OC 上的动点 . (1) 求 A 点坐标及∠ OCB 的度数 . 解 :(1) 令 y=0, 得 x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0, 解得 x=1 或 x=3, 故 A(1,0),B(3,0), 令 x=0, 得 y=3, 故 C(0,3),∴OC=OB, 又∵∠ BOC=90°,∴∠OCB=45°. 图 Z8-3 图 Z8-4 (2) 如图 Z8-3, 求 OP+PA 的最小值 , 以及此时点 P 的坐标 . 图 Z8-3 例 2 已知抛物线 y=x2-4x+3 与 x 轴交于 A,B 两点 (A 在 B 点左侧 ), 与 y 轴正半轴 交于点 C, 点 P 是直线 BC 上的动点 , 点 Q 是线段 OC 上的动点 . (3) 如图 Z8-4, 求 AQ+QP 的最小值 . 图 Z8-4 图 Z8-5 【方法点析】求几条线段和的最值 , 如果不能用字母表示成函数形式 , 或者表示 出的函数不好求最值 , 往往需要通过作对称、平移、旋转等变换后 , 进行边长的 等量代换 , 利用“两点之间线段最短”或“点线之间 , 垂线段最短”求得最小值 . 【配练】 [2018· 怀化节选 ] 如图 Z8-6, 在平面直角坐标系中 , 抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点 , 与 y 轴交于点 C, 点 D 是该抛物线的顶点 . (1) 求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式 ; (2) 请在 y 轴上找一点 M, 使△ BDM 的周长最小 , 求出点 M 的坐标 . 图 Z8-6 (2) 请在 y 轴上找一点 M, 使△ BDM 的周长最小 , 求出点 M 的坐标 . 解 :(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴ 顶点 D 的坐标为 (1,4), 作 B 点关于 y 轴的对称点 B', 连接 DB' 交 y 轴于 M, 如图 , 则 B'(-3,0), ∵MB=MB‘,∴MB+MD=MB'+MD=DB', 此时 MB+MD 的值最小 , 而 BD 的值不变 , ∴ 此时△ BDM 的周长最小 , 易得直线 DB' 的解析式为 y=x+3, 当 x=0 时 ,y=x+3=3, 故点 M 的坐标为 (0,3). 图 Z8-6 ■ 题型精练 图 Z8-7 图 Z8-7