7.2 相交线第 2 课时 垂线及其性质 ［教学目标］ 1、知识与技能 （1）了解垂线的概念和垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。 （2）知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，并会用三角尺或量角器过一点画一条直 线的垂线。 2、过程与方法 经历操作、探索、归纳、总结的过程，初步形成几何概念的认识方式和几何结论的归纳方法。 3、情感态度价值观 体会探究的乐趣，体会数学与现实生活的联系，能对感性认识到理性认识有初步的体验。 ［教学重点与教学难点］ 1、教学重点： （1）通过动手操作了解垂线的概念。 （2）通过动手操作进行垂线的两个性质的归纳。 2、教学难点： 垂线的两个性质归纳的语言表述。 ［教具准备］ 相交线模型、绳子、多媒体课件。 ［教学课时］ 1 课时 ［教学过程］ 一、创设情景 揭示课题 1、提问：某人在下雨时想要跑进屋檐下躲雨。此人会以怎样的路线跑到屋檐下？ 2、板书课题：垂线及其性质 二、动手操作 得出新知 学生操作：学生拿出相交线模型旋转，引导学生从角的变化过程中体会垂直与角大小的关系。 教师指出：四个角有一个是直角时，两直线就垂直了，此时四个角都是直角。 垂直：两条直线相交，有一个角是直角，这两条直线互相垂直。 垂线：两条直线互相垂直，其中一条叫作另一条的的垂线。 三、提问升华 举例感知 1、问题 1：垂直的两条直线其夹角的大小有什么关系？ 2、问题 2．怎样判定两条直线是否垂直？ 3、请列举生活中具有垂直形象的事物。 学生回答好以上三个问题后，教师指出：垂直定义即可以作为垂直的性质又可以作为垂直的 判定。 四、探究思考 讨论归纳 （一）性质 1 师：生活中我们常用垂线知识解决问题，画已知直线的垂线是必不可少的基本技能 1、问题 1：与一条已知直线垂直的直线一共有几条？请同学们动手画一画。 2、问题 2：如图（1），过 P 点可以作几条直线与直线 L 垂直？请同学们动手画一画。 3、问题 3：如图（2），过 P 点可以作几条直线与直线 L 垂直？请同学们动手画一画。 这 3 个问题要求学生独立画图再小组内交流。 4、讨论归纳：过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。 （二）性质 2 1．出示图（3），过点 P 与直线 r 上各点有无数条连线，如 PA、PB、PC（PC⊥a）、PD…… 哪条最短？（测量） P r A B （ ） C 3 D 实验：用一根绳子分别重合于 PA、PB、PC、PD，比较它们的长度。 讨论归纳：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 2．回到导入的实例，有上面的知识解释。 先让学生回答教师再做补充。 3. 一个点到一条直线的距离如何确定？ 结合图形分析 归纳板书：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 注意：点到直线的距离指的是数量而非垂线段。 五、变式练习 灵活解题 1．如图，过 A 点作 BC 的垂线； 2．如图，过 A 点作 BC 的垂线； 3．如图，过 P 点分别作 AB、BC、CD、DA 的垂线； 完成 3 道题后，教师指出：过点作已知线段的垂线有时需要先延长线段，再作垂线。 六、巩固强化 不断提高 1．如图 （1）直线____与直线____相交于 A 点，D 点是直线_____与直线____的交点，又是直线____与 直线_____的交点； （2）_____⊥____，垂足为____； （3）过 D 点有且只有____条直线与 AC 垂直，它是____。 2．如图，AO⊥CO，BO⊥DO，∠BOC=30°，求∠AOD 的度数。 3．如图，一艘船要从河岸一侧的 A 处到达另一侧，怎么走最近？为什么？如果他要到对岸的 B 处，怎么走最近？为什么？ 七、提问梳理 加深了解 1、提问 1：今天我们学习了垂线的有关知识，我们得到了哪些结论？ 2、提问 2：通过学习我们发现，几何结论可以通过观察图形来得到，请你们回忆一下垂线的 性质是如何得出的？ 以上问题先由学生发言，不足之处教师给于补充。 3、作业布置 ：P8 第 5、6 题。 八、承上启下 设下悬念 如图，已知 a⊥c，b⊥c，a 平行于 b 吗？生活中有类似的图形吗？请举例。 ［板书设计］ 2、板书设计 课题 投影 结论 板演 教案说明 观察、实验、猜想是科学技术创新过程中一个非常重要的方法，它与说理论证恰好构成了学 习平面几何内容的基本途径；义务教育课程标准也明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依 赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。因此，在平面几何 的教学中教师应该根据认知规律，设计符合学生认知水平的教学活动，通过学生的感知、思考、 归纳和抽象，形成对几何图形的认识。在这一理念的指导下我设计了《垂线》这节课。 一、教材分析 学生在小学四年级学习过垂线，对垂线图形有了最基本的认识，也了解了垂直的一些简单性 质，但对垂线并没有深入的研究，没对垂线给出严格的几何定义，也没对垂线的性质作深入的探 讨。学生在七年级第三章学习了基本的图形点、线、角，这使学生学习垂线有了基础。《垂线》 是人教版七年级第五章相交线与平行线的内容，包括垂直概念、垂线概念、用数学符号表示垂直、 垂线的两个性质和点到直线距离等知识。它是在学生对基本图形点、线、角有了初步认识的基础 上学习的一种特殊位置关系，初步向学生参透由一般到特殊的思想。其学习方式和研究方法，对 今后认识图形、形成空间观念起到奠基的作用，特别是对今后要学习的三角形、平行四边形和圆 都有举足轻重的作用，在物理的领域也不缺少垂线性质的应用。也是培养学生观察、动手、分析、 归纳能力的重要内容，对学生的探究精神、学习兴趣的培养都具有重要意义。 二、教学目标定位 根据义务教育课程标准的要求、本节课的内容特点和学生实际情况制定了以下三个维度目标： 1、知识与技能 （1）了解垂线的概念和垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。 （2）知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，并会用三角尺或量角器过一点画一条直 线的垂线。 2、过程与方法 经历操作、探索、归纳、总结的过程，初步形成几何概念的认识方式和几何结论的归纳方法。 3、情感态度价值观 体会探究的乐趣，体会数学与现实生活的联系，能对感性认识到理性认识有初步的体验。 三、教学模式和教学策略 在新课程的实施过程中，要求教师不再是单一的数学知识的传授者，而是学生学习的组织者 引导者与合作者。教学是师生交流、共同发展的过程。所以，本课是在“教师启发为主，学生自主 探究”为指导下进行教学的。 本课沿着“引导思考—合作总结—巩固强化”的主线来进行教学，采用的是实验探究教学法。通 过富有启发意义的例子引入新课，激发学生学习兴趣和求知欲，并结合教具直观操作，师生共同 总结归纳，在良好的情感环境中指导学生画图、测量等操作行为，抽象出的垂线的几何性质。 学生是学习的主人，课堂中要给学生充分从事数学活动的时间和空间。“操作观察—发现交流 —归纳运用”是本节课学生学习的主要模式，是观察归纳学习法。先在教师的引导下对相交直线所 成的角的大小进行讨论，并加以图形观察，对垂直关系形成的感性认识，再通过动手操作有了自 身体验，思考后发现新知并与同伴交流归纳出结论，最终通过运用来巩固新知。 在此教学过程中，教师主导、学生主体地位得以充分的体现。 四、教学诊断分析 1、对于给定的一条直线，无论点在不在直线上，学生容易判断经过点有一条直线与之垂直， 并能将这条直线作出。但为什么要将其归纳为：“平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂 直”，“有且只有”与“只有”有什么不同？学生在这个问题上会感到困惑。教学中，有必要对此作出说 明，使学生体会数学语言的规范要求。但这里不要做太多的推敲，学生理解即可。 2、点到直线的距离是学生容易误解的概念。虽然概念明确指出：“直线外一点到这条直线的垂 线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离”，但学生对字面上的理解却比较模糊。在教学中，我 结合图形分析概念，并强调它指的是垂线段的长度，是一个数量，而非垂线段本身。 3、垂线段最短和两点之间线段最短是学生容易混淆的两个概念。前者的对象是点与线，后者 的对象是点与点。我设计了“巩固强化 不断提高”中的第 3 题，帮助学生把它区别开来。 五、预期效果 学生学完本节课后，希望达到的预期效果有三个： 1、达到教学中的三维目标。 2、能体会数学与生活的联系，学会用数学的眼光来看待事物。 3、学生通过相互交流，增强与他人协作交流的意识和团结互助的精神。