《深圳中考专项复习》第 20 讲之二次函数几何综合压轴题 【考点介绍】 每年深圳中考两题解答压轴题之一，考查二次函数与几何知识的综合运用，难度极大，其中第（ 2）小题中等难 度，第（3）小题高难度。 【最近五年深圳中考实题详解】 2 1. (2020 ∙ 深圳) 如图 1，抛物线 y=a x +bx +3 （a≠0）与 x 轴交于 A（-3，0）和 B（1，0），与 y 轴交 于点 C，顶点为 D （1）求解抛物线解析式 （2）连接 AD，CD，BC，将△OBC 沿着 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向左平移，得到 的对应点分别为点 ， ， ，设平移时间为 t 秒，当点 与点 A 重合时停止移动。记△ ,点 O、B、C 与四边形 AOCD 的重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与时间 t 的函数解析式; （3）如图 2，过抛物线上任意一点 M（m，n）向直线 l: 否存在一点 F，使得 ME-MF= 作垂线，垂足为 E，试问在该抛物线的对称轴上是 ？若存在，请求 F 点的坐标；若不存在，请说明理由。 2 解析：（1）代入法可得抛物线的解析式为 y=−x −2 x +3 （2）思路分析：先分段：当 B 点到达 O 点之前，重叠图形为梯形，此时 0<t<1;当点 C 平移到线段 AD 上之前， 重叠图形就是△OBC；C 点的纵坐标为 3，D(-1,4)直线 AD 解析式为 y=-2x+6,把 y=3 代入可得 C 移到 AD 上时 的坐标为（ 3 2 ，3），故 ；最后一段即为 由抛物线解析式得顶点 D 坐标为(-1，4)，则直线 AD 的解析式为 y=2x+6,当 ①如图所示，当 0<t<1 时， ②当 时， ③当 时，如图所示，过 G 点作 GH⊥ ∴ 在 AD 上时， 坐标为 ， 完全在四边形 AOCD 内， ，∵ ,设 HG=x，∵ ，∴ ，∴ ， 而 ，∴ ，∴ ， ∴ 综上： （3）代数论证方法解题，用未知数表示出 ME、MF 的长，利用条件“ME-MF= 1 4 ”建立方程，此题的难点就在 如何解可能四次项的方程，注意不要展开，利用配方法，通过开平方的技巧来降次。 假设存在，设 F 点坐标为(-1，t)，∵点 M（m，n）在抛物线上 ∴ ∴ ∴ ∴ ，∴ ，而 ∵由题可知，点 F 只有一个，∴ ， ，∴ （附：特殊值中的特殊位置法，点 M 是任意一点均能使结论成立，则 M 在顶点时也能满足要求，则 M(-1,4)，E(- 1, 9 1 1 15 ),ME= ,则 MF= ,则 F 点的坐标为（-1， 2 2 4 4 ），当然此种解法只限于填选题，解答题需要提 供验证） 2. (2019 ∙ 深圳) 如图，抛物线 2 y=a x +bx +c 经 过 A （ -1 ， 0 ） 、 C （ 0 ， 3 ） ， B 点 在 x 轴 上 ， 且 OB=OC； （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 D、E 在直线 x=1 上的两个动点，且 DE=1，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 的周长的最小值； （3）点 P 为抛物线上一点，连接 CP，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3：5 两部分，求点 P 的坐标. 【思路分析】 （1）由 OB=OC 可得 B 点坐标，把 A、B、C 三点坐标代入，即可得抛物线解析式，由 x=-b/2a 可得对称轴； 【解题过程】 （ 1 ） ∵ C （ 0 ， 3 ） ， ∴ OC=3 ， ∴ OB=OC=3 ， ∴ B 点 坐 标 为 （ 3 ， 0 ） ， 把 A 、 B 、 C 三 点 坐 标 代 入 2 y=a x +bx +c ， 可 得 { a−b+ c=0 9 a+3 b+ c=0 ， 解 得 c=3 a=−1, b=2, c=3 ， ∴ 抛 物 线 的 解 析 式 为 −b y=−x 2+2 x +3 ，∴对称轴 x= 2a =1 . 【思路分析】 （2）四边形 ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE，由题可知 AC、DE 的长度是已知固定的，要想周长最小，只需 CD+AE 最小，属“将军饮马问题”第四种情形“二定二动”情形，解题方法是“平移+对称”，将点 C 往下平移 1 个单位 得 C`，由于 A、B 关于直线 x=1 对称，故连接 C`B 交直线 x=1 于点 E，在 E 的上方取一点 D，使 CD=1，此时 CD+AE 有最小值，最小值为 C`B 的长度，进而可得出四边形 ACDE 周长的最小值； 【解题过程】 （2）将点 C 往下平移 1 个单位得 C`，由于 A、B 关于直线 x=1 对称，故连接 C`B 交直线 x=1 于点 E，在 E 的 上方取一点 D，使 CD=1，此时 CD+AE 有最小值，∵CC`//DE，且 CC`=DE=1，∴四边形 CC`ED 是平行四边 形，∴CD=C`E，∵A、B 关于直线 x=1 对称，∴AE=BE，则 CD+AE=C`E+BE=C`B，即 CD+AE 最小值为 C`B 的长度，∵A（-1，0）、C（0，3），∴AC= ❑ √ 10 ，C`（0，2），∵B（3，0），∴BC`= 四边形 ACDE 的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=AC+DE+C`B=1+ ❑ √ 10 + ❑ √ 13 ❑ √ 13 ，∴ . 【思路分析】 （3）直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3：5 两部分，存在两种情况：① S△ACP：S△CBP=3 ：5 时； ② S△ACP：S△CBP=5：3 时；这里介绍两种方法求解： （1）常规方法：利用面积公式求解的方法：设 P 点坐标，用面积方法中的“水平宽×铅垂高÷2”分别表示出△ACP 与△CBP 的面积，按上述比例列方程求解，即可得出 P 点坐标，注意：①过点 P 作 PM⊥x 轴交 CB 的延长线于点 F，交 AC 的延长线于点 M，△ACP 的“水平宽”是 OA 的长，“铅垂高”为 PM 的长；△CBP 的“水平宽”是 OB 的长， “铅垂高”为 PF 的长；② CP 要分四边形 CBPA 的面积，P 点必须在 x 轴下方的抛物线位置. （2）巧妙方法：利用成“等比性质确定面积比关系”求解；△CAQ 与△CBQ、△PAQ 与△PBQ 均为高相等的三角 形，故面积之比均为 AQ：QB，利用比例线段的“等比性质”，即可得出△ APC 与△CBP 的面积之比仍为 AQ： QB， 【解题过程】 （3）常规方法： 2 过点 P 作 PM⊥x 轴交 CB 的延长线于点 F，交 AC 的延长线于点 M，设 P 点坐标为 (m ,−m +2 m+3) ,∵A（1，0）、C（0，3），∴直线 AC 的表达式： y=3 x +3 ，∵B（3，0）、C（0，3），∴直线 BC 的表达式： y=−x+ 3 ， ∴ M (m ,3 m+3) , 2 2 F (m ,−m+3) ,∴PM= 3 m+ 3−(−m + 2m+3 ) =m + m ， PF= −m+3−(−m 2+2 m+3 ) =m2−3 m ， ① 当 [ S ∆ ACP ： S ∆ CBP =3 ：5 ][ 时 ， ( 12 OA ∙ PM ) :( 12 OB ∙ PF )=3:5 即 ,∴ ] 1 1 × 1∙ ( m2+ m ) : ×3 ∙ ( m2 −3 m ) =3 :5 ,解得 m=8 ，∴P 点坐标为（8，-45）； 2 2 ② 当 S ∆ ACP ： S ∆ CBP =5 ：3 时，即 [ ][ ] 1 1 × 1∙ ( m2+ m ) : ×3 ∙ ( m2 −3 m) =5 :3 ,解得 m=4 ，∴P 点坐标为 2 2 （4，-5）； 综上所述，当，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3：5 两部分，点 P 的坐标分别为（8，-45）、（4，-5）； 利用“等比性质”求解面积比的方法 设 CP 、 AB 交 于 点 Q ， 由 “ 高 相 等 时 面 积 之 比 等 于 底 边 之 比 ” 可 得 ： S ∆ ACQ AQ S∆ PAQ AQ = = ， ∴ ， S ∆ BCQ QB S ∆ PQB QB S ∆ ACQ+ S S ∆ ACQ S ∆ PAQ AQ S ∆ ACP AQ AQ = = ， 依成比例线段的“等比性质”可得： = = ， 即 ，∴ S ∆ BCQ S ∆ PQB QB S ∆ BCP QB S ∆ BCQ + S ∆ PQB QB ∆PAQ AQ 3 AQ 5 = 或 = QB 5 QB 3 ， 即 AQ 3 = AB 8 或 AQ 5 3 5 = ， ∵ AB=4 ， ∴ AQ= 或 AB 8 2 2 ，∴Q 点坐标为（ 1 3 2 ，0）或（ 2 ，0），则直线 CQ 的表达式为：y=-6x+3 或 y=-2x+3，与抛物线解析式联立方程： y=−6 x+3 y=−2 x +3 { y=−x { +2 x+ 3 y=−x +2 x+ 3 2 或 2 ，解得 P 点坐标为（8，-45）或（4，-5） 【点评】 （1）第（2）小题尽管是“将军饮马问题”五大情形中最难的一类，但也属常见题型，很多重点中学初二上的期中 期末考试中的“将军饮马问题”也经考查到这个难度层次了，只要把握住作图方法，其解决难度只能算是中等；本号 中的文章“数学典型模型之八：将军饮马问题”之“平移+对称”模型有详细介绍及相似例题。 （2）面积问题是二次函数几何综合题型中最常见的题型，近五年深圳中考的二次函数压轴题，都会考查面积问题 ， 所以今年再次考也是意味之中的事。此题的难度不在于分类讨论，而在于确定面积方法。运用方法一，思路上更 直接，更常规，容易入手，但它的难度在于如何确定这两个三角形的“水平宽”与“铅垂高”，选的是三种确定方法中 不太常见的那一种，故难度卡在这。运用方法二，更简单，但通过比的性质来寻找面积比的关系，这个思考角度 很灵活，不易联想到，难在思路的入口上。 3. (2018 ∙ 深圳) 1 2 2 已知顶点为 A 抛物线 y=a( x− ) −2 经过点 B ( −3 5 ,2) ，点 C( ,2) . 2 2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图 1，直线 AB 与 x 轴相交于点 M,y 轴相交于点 E，抛物线与 y 轴相交于点 F，在直线 AB 上有一点 P，若 ∠OPM=∠MAF，求△POE 的面积； (3)如图 2，点 Q 是折线 A—B--C 上一点