《提公因式法》教学设计 一、内容与分析 这节课是河北教育出版社九年制义务教育教科书七年级下册第十一章第二节《提公因式法》第 一课时。学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解 的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基 础。本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与 整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续— —分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式这一章在 整个教材中起到了承上启下的作用。 二、目标与分析 目标：（1）1.了解公因式及提公因式法； （2）会用提取公因式法进行因式分解． 分析：根据学生在上一节课的经验，学生只是对因式分解有了一个初步的印象和判断，而对 于怎样把一个多项式进行因式分解还很茫然，相应的数学能力还有待于进一步加强和巩固。因此， 本课由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式， 加强学生 的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力；引导学生由乘法分配律的逆运 算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生 的类比思想； 寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。 三、本课内容及重点、难点分析： 重点为：会用提取公因式法分解因式 难点为：正确找出多项式中各项的公因式及提公因式后另一个因式的确定。 四 、教学方法分析 根据本节课内容，遵循学生认知规律和心理特点，为了突出重点，突破难点，培养学生的创 新能力，我采用演示、讨论、观察、比较、概括等多种方法交叉教学，利用多媒体辅助教学，呈现 知识的形成过程，充分调动多种感官参与教学，激发学生学习的兴趣，使数学教学成为学生“探索 、 发现、再发现、创造”的过程。 五、学法分析 教学的矛盾主要是解决学生的学，“学”是中心，“会”是目的。因此，在教学过程中，我通过创 设问题的情境，以激发学生“乐学”；启发诱导，以指导学生“会学”；变式训练，以引导学生“活学”； 引导学生反思自己的分析过程，以指导学生“善学”。使学生通过观察、比较、分析、概括等一系列 思维训练，不断提高学习数学的探究意识和创新能力。 六、教学过程分析 第一环节 引入 问题 1：利用几何图形理解 m(a+b+c)=ma+mb+mc 设计意图：引入这一步的目的旨在让学生通过对几何图形面积的计算，体会算式两边的相等关系 ， 让学生知道以前的整式乘法，与现在的因式分解，只是计算方向不同。也是想用这种方法让学生体 会数形结合的思想去解决数学问题。 第二环节 想一想 问题 2：利用 ma+mb+mc =m(a+b+c)让学生体会公因式的存在 结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两 个因式乘积的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法． 师生活动：教师提出问题后主要由学生总结，由于有了第一环节的铺垫，再从数过渡到式，学生 能很快用类比的方法找到这些式子中相同的因式，知道公因式的概念。 第三环节 议一议 问题 3：8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？ 结论：（1）一看系数：各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数； （2）二看字幕：各项都含有的字母 （3）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分； （4）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式。 设计意图：由于第二环节提供的几个多项式比较简单，不能反映公因式的全部特征，而通过本环 节中寻找多项式 8a3b2－12ab3c 中各项的公因式，引导他们归纳出确定多项式各项 公因式的方法， 培养学生的初步归纳能力，顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力。 师生活动：学生知道每一个多项式都由两部分组成：系数部分与字母部分，因此，有必要将系数 部分与字母部分分开讨论。在教师的引导下，学生能分别找出公因式的系数部分与字母部分，最后 找到这个多项式的公因式。 找公因式练习： 找出下列各多项式中的公因式： （1） 5a+5b (2) m2+m (3) x2+2x （4） 8x+64 (5) 3xy+3xz (6) abc+2a (7) 6x-9x2 （9） m2n3 -3m3 n2 (8) 2ab2+ 4abc (10) 2a2x-6ax2 (11)、a2b-2ab2+ab (12) 2x2y+4xy2-6xy 第四环节 试一试 例题 1：把 8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 设计意图：让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行简单的多项式的分解， 为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备． 师生活动：由于有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用，学生能较快地从数的 分解过渡到字母的因式分解。学生在刚开始可能还是不能够按照正确的步骤去找到一个多项式的公 因式，教师应鼓励学生多说明公因式是怎样找到的。 第五环节 例题讲解 例 2：把 9x2–6xy+3xz 分解因式。 分析：首先要确定各项的公因式。不难看出这个公因式 是一个单项式，因此要从系数与字母两 部分来考虑:(1)公因式的系数取各项系数的最大公约数；(2)公因式中的字母取各项相同的字母，并 且各字母的指数取次数最低的。所以各项的公因式是 3x,其中(1)3 是 9 与 6 和 3 的最大公约数。 (2)x 是各项相同的字母，其指数最低是 1，即为 m； 解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z) 用提公因式法分解因式的步骤： 第一步. 找出公因式； 第二步. 提取公因式 ； 第三步. 将多项式化成两个因式乘积的形式。 例 3：把 2x2+ 6x3 分解因式。 解：2x²-6x3 =2x2×1+2x2×3x=2x2（1+3x） 注意：不要漏项。这里把 2x² 写成 2x2×1,可知提出一个因式 2x² 后,另一个因式是 1。 因为分解因式与整式乘法相反，所以可以用整式乘法检查因式分解的结果对不对。² 例 4：小冬解的有误吗？ 把8a 3 b2 –12ab 3 c + ab 分解因式. 解： 8 a3b2 –12ab3c + ab = ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1 = ab(8a2b - 12b2c) （错误）正解为： 8 a3b2 –12ab3c + ab = ab(8a2b - 12b2c+1) 注意：另一个因式的项数与原多项式的项数一致。 例 5：把– 24x3 –12x2 +28x 分解因式。 注意：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。 在提出“-” 号时，多项式的各项都要变号。 第六环节 做一做 问题 5：将下列多项式进行分解因式： （1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz； （3）2x3+6x2+2x 设计意图：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归 纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验 ． 师生活动：学生归 纳：提取公因式的步骤： （1）找公因式； （2）提公因式． 易出现的问题：（1）第（2）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号． （2）第（3）题中 的最后一项提出 2x 后，漏掉了“+1”； 矫正对策：（1）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；（2）如果多项 式的第一项带“–”，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；（3）将分解因式后的式子再进行单项式 与多项式相乘，其积是否与原式相等． 第七环节 反馈练习 1、将下列多项式进行分解因式： （1）10a-5c （2）ab-2abc （3）5xy-xyz （4）a2+ab-ac 2、将下列多项式进行分解因式： （1）2x2y-4xy2z （2）7a2b–14a2bc （4）4ab-6ab2　　　 (5)4a2b2-ab2 （3）15mn2p2-5mnp　　 (6)-12a2b2c+4a2b2+2ab2c 设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公 因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏。从学生的反馈情况来看，学生对公 因式概念的理解基本到位，提取公因式的方法与步骤基本掌握，但依然有部分同学出现第五环节中 的问题，如对首项出现负号时不能正确处理，此时，需要老师进一步引导． 师生活动：从学生掌握的情况出发，看看学生的问题是在寻找公因式方面还是在提公因式方面没 有很好的掌握， 教师再加以强调公因式的找法和提公因式应该注意的事项。 第八环节 课堂小结 从今天的课程中，你学到了哪些知识？你认为提公因式法与单项式乘多项式有什么关系？ 1、确定公因式的方法： 一看系数　二看字母　三看指数 2、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。 3、用提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉 （3）多项式的首项取正号