考点 14 等腰三角形与直角三角形 该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用,也是考查重点,年年都会考查,分值为 10 分左右，预计 2021 年各地中考还将出现,并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全 等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察,这部分知识需要学生扎实地掌握基础,并且会灵活运 用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础. 一、等腰三角形 1．等腰三角形的性质 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）． 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高重合． 推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°． 2．等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定 理常用于证明同一个三角形中的边相等． 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形． 推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 二、等边三角形 1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60°． 3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形． 三、直角三角形与勾股定理 1 / 76 1．直角三角形 定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 性质：（1）直角三角形 两锐角互余； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形； （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 2．勾股定理及逆定理 （1）勾股定理：直角三角形的两条直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即：a2+b2=c2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边 a、b、c 有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 考向一 等腰三角形的性质 1．等腰三角形是轴对称图形，它有 1 条或 3 条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45°． 3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则 b <a． 2 5 ． 等 腰 三 角 形 的 三 角 关 系 ： 设 顶 角 为 顶 角 为 ∠ A ， 底 角 为 ∠ B 、 ∠ C ， 则 ∠ A=180°-2∠B ， ∠ B=∠C= 180 °−∠ A ． 2 1．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为 70°，则另外两个内角的度数分别是（ A．55°，55° B．70°，40°或 70°，55° ） C．70°，40° D．55°，55°或 70°，40° 2 / 76 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的定义，分 70� 的内角为顶角和 70� 的内角为底角两种情况，再分别根据三角 形的内角和定理即可得． 【详解】（1）当 70� 的内角为等腰三角形的顶角,则另外两个内角均为底角，它们的度数为 180� 70�  55� 2 （2）当 70� 的内角为等腰三角形的底角，则另两个内角一个为底角，一个为顶角;底角为 70� ，顶角为 180� 70� 70� 40� 55� , 55� 70� , 40� 综上，另外两个内角的度数分别是 或 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况 讨论是解题关键． 2．（2020·四川泸州市·中考真题）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中 末比”问题：点 G 将一线段 MN MG GN 的比例中项，即满足 MN 段 MN 分为两线段  ， GN ，使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与较短的段 GN 5 1 5 1  ，后人把 MG 2 2 这个数称为“黄金分割”数，把点 G 称为线 的“黄金分割”点．如图，在 VABC 金分割”点，则 VADE 的面积为（ A． 10  4 5 MG B． 3 5  5 中，已知 AB  AC  3 ， BC  4 ，若 D，E 是边 BC 的两个“黄 ） C． 52 5 2 D． 20  8 5 3 / 76 【答案】A 【分析】作 AF⊥BC，根据等腰三角形 ABC 的性质求出 AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出 BE、CD 的长度，得到 VADE 中 DE 的长，利用三角形面积公式即可解题. 【详解】解：过点 A 作 AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF= 1 BC=2，在 Rt ,AF= 2 VABF AB 2  BF 2  32  22  5 ， CD ∵D 是边 BC 的两个“黄金分割”点，∴ BC  解得 CD= 5 1 5  1 CD  即 2 4 2 ， 2 5  2 ，同理 BE= 2 5  2 ，∵CE=BC-BE=4-( 2 5 -2)=6- 2 5 ，∴DE=CD-CE=4 5 -8，   1 1 �DE �AF �4 5  8 � 5 ∴S△ABC= 2 =2 = 10  4 5 ，故选：A. 【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式， 求出 DE 和 AF 的长是解题的关键。 1．（2020·山东滨州市·中考真题）在等腰 V ABC 中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A 的大小为________． 【答案】 80� 【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为 180°列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵AB=AC，∠B=50°，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°-2×50°=80°．故答案为：80°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等的性质． 4．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）等腰三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个等腰三角形的周长 4 / 76 是_____． 【答案】10 或 11 【分析】分 3 是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：① 3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、4，∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10； ②3 是底边长时，三角形的三边分别为 3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11． 综上所述，这个等腰三角形的周长是 10 或 11．故答案为：10 或 11． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据题意，正确分情况讨论是解题的关键． 考向二 等腰三角形的判定 1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相 等关系的重要依据． 2．底角为顶角的 2 倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形． 1．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知 AB=AC，AD=AE，BD 和 CE 相交于点 O． （1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC 的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形 的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得 BO=CO，即可得结论． 【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）△BOC 是等腰三角形， 理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE， 5 / 76 ∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键． 2．（2020·四川南充市·中考真题）如图，在等腰三角形 ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线， ∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则 CD=（ ） ab A． 2 ab B． 2 C．a-b D．b-a 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出 BD=BC=AD，进而解答即可． 【详解】解：∵在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC， ∵AB=AC=a，BC=b，∴CD=AC-AD=a-b，故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出 BD=BC=AD 解答． 1．（2020·广东中考真题）如图，在 �ABE  �ACD ， BE 与 CD ABC 相交于点 F 中，点 D ，求证： ， E ABC 分别是 AB 、 AC 边上的点， BD  CE ， 是等腰三角形． 6 / 76 【答案】见解析 【分析】先证明 BDF ≌ CEF ，得到 BF  CF ， �FBC  �FCB ，进而得到 ∠ ABC  �ACB ，故可 求解． � �DFB  �EFC  对顶角相等 � �FBD  �FCE � 【详解】证明：在 和 中� BD  CE CEF � BDF ∴  BDF≌ CEF ( AAS ) BF  CF �FBC  �FCB 又∵ ∴ �ABE  �ACD ∴ ∴ �FBC  �ABE  �FCB  �ACD 即 ∠ ABC  �ACB ∴ ABC 是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 考向三 等边三角形的性质 1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 1．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，已知边长为 2 的等边三角形 ABC 中，分别以点 A，C 为圆心，m